SENSEI AI
About App

三角形OABにおいて、OA=2, OB=3, ∠AOB=60°とする。 (1) 辺OAを1:2に内分する点をC, 辺OBの中点をDとする。線分AD, BCの交点をEとする。$\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{OA}$, $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OB}$のとき、$\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{4}{5}\vec{OB}$となる。 (2) $\vec{OA}\cdot\vec{OB}$の値を求め、三角形OABの面積を求める。 (3) $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$とする。点Pが三角形OABの内部となる条件を選択肢から選ぶ。さらに、$s\ge0$, $t\ge0$, $1\le s+t \le 2$ を満たすとき、点Pが動く範囲の面積を求める。

幾何学ベクトル内分点三角形の面積ベクトルの内積
2025/6/12

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=2, OB=3, ∠AOB=60°とする。
(1) 辺OAを1:2に内分する点をC, 辺OBの中点をDとする。線分AD, BCの交点をEとする。OC⃗=13OA⃗\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{OA}, OD⃗=12OB⃗\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OB}のとき、OE⃗=13OA⃗+45OB⃗\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{4}{5}\vec{OB}となる。
(2) OA⃗⋅OB⃗\vec{OA}\cdot\vec{OB}の値を求め、三角形OABの面積を求める。
(3) OP⃗=sOA⃗+tOB⃗\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}とする。点Pが三角形OABの内部となる条件を選択肢から選ぶ。さらに、s≥0s\ge0, t≥0t\ge0, 1≤s+t≤21\le s+t \le 2 を満たすとき、点Pが動く範囲の面積を求める。

2. 解き方の手順

(2) OA⃗⋅OB⃗=∣OA⃗∣∣OB⃗∣cos⁡∠AOB=2⋅3⋅cos⁡60∘=2⋅3⋅12=3\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos{\angle AOB} = 2 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3
問題文より、OA⃗⋅OB⃗=6\vec{OA}\cdot\vec{OB}=6とあるのは誤り。正しくはOA⃗⋅OB⃗=3\vec{OA}\cdot\vec{OB}=3である。
三角形OABの面積は、12∣OA⃗∣∣OB⃗∣sin⁡∠AOB=12⋅2⋅3⋅sin⁡60∘=3⋅32=332\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin{\angle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin{60^\circ} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
(3) 点Pが三角形OABの内部となる条件は、
s≥0s \ge 0, t≥0t \ge 0, s+t≤1s+t \le 1
よって選択肢は④。
s≥0s\ge0, t≥0t\ge0, 1≤s+t≤21 \le s+t \le 2 のとき、点Pが動く範囲は平行四辺形から三角形を除いた部分になる。
s+t=1s+t=1のとき、点Pは線分AB上を動く。
s+t=2s+t=2のとき、OP⃗=sOA⃗+tOB⃗=2(s2OA⃗+t2OB⃗)\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = 2(\frac{s}{2}\vec{OA} + \frac{t}{2}\vec{OB})。ここで s′=s/2s'=s/2, t′=t/2t'=t/2とおくと s′+t′=1s'+t'=1。
OP⃗=2(s′OA⃗+t′OB⃗)\vec{OP} = 2(s'\vec{OA} + t'\vec{OB})となるので、点Pは線分ABを原点Oに関して2倍に拡大した線分A'B'上を動く。ここで OA′⃗=2OA⃗\vec{OA'} = 2\vec{OA}, OB′⃗=2OB⃗\vec{OB'} = 2\vec{OB}。
点A,Bはそれぞれ(2,0), (0,3)と表すことができる。(x,y)座標。
s+t=1s+t=1における三角形OABの面積は 332\frac{3\sqrt{3}}{2}
s+t=2s+t=2における三角形OA'B'の面積は 22×332=4×332=632^2 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}
点Pの動く範囲の面積は、三角形OA'B'から三角形OABの面積を除いた面積となる。
63−332=9326\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}

3. 最終的な答え

(2) OA⃗⋅OB⃗=3\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 3 (問題文は誤り)
三角形OABの面積: 332\frac{3\sqrt{3}}{2}。よって、7=3, 8=3, 9=2
(3) 10: ④
11=9, 12=3, 13=2
点Pが動く範囲の面積: 932\frac{9\sqrt{3}}{2}

「幾何学」の関連問題

半径1の円Aがあり、Aから距離2の点Bから円Aへの接線BCを引く。線分CDが円Aの直径となるように点Dをとる。このとき、BC, BD, sin ∠ABC, tan ∠BAD, △ABDの外接円の半径、...

円接線三平方の定理三角比余弦定理正弦定理外接円角度
2025/6/12

$|OA|=5$, $|OB|=12$の長方形OABCがある。次のベクトルと平行な単位ベクトルを、$OA$, $OB$で表せ。 (1) $OA$ (2) $OC$

ベクトル単位ベクトル長方形ベクトルの加算ベクトルのスカラー倍
2025/6/12

$\triangle ABC$において、$\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$ が成り立つとき、3辺の長さの比 $BC:CA:...

三角比正弦定理余弦定理三角形の面積辺の比
2025/6/12

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ で、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と ...

ベクトル内積ベクトルのなす角
2025/6/12

問題1：$|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3, |\vec{a}+2\vec{b}|=2\sqrt{10}$ を満たすとき、以下の値を求める。 (1) $\vec{a} \cdot \v...

ベクトル内積ベクトルの大きさ
2025/6/12

$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$の比に内分する点を$L$, 辺$OA$の中点を$M$とし、線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$を求めよ。

ベクトル内分点線分の比平面幾何
2025/6/12

$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$L$、辺$OA$の中点を$M$とする。線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$の比を求めよ。

ベクトル内分交点比
2025/6/12

三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、線分BPと線分PMの比（BP:PM）を求める。

ベクトル内分点線形結合ベクトルの演算
2025/6/12

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$、辺 $OA$ の中点を $M$ とし、線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$...

ベクトル内分点線分の交点図形
2025/6/12

四面体OABCにおいて、AB=5, BC=7, CA=8, OA=OB=OC=7である。 (1) ∠BACの大きさと、△ABCの外接円の半径Rを求める。

四面体三角比余弦定理正弦定理外接円空間図形
2025/6/12