(1) 2点 $A(5, -2)$ と $B(-1, 4)$ を直径の両端とする円の中心 $C$ の座標と半径 $r$ を求め、その方程式を求める。 (2) 中心が点 $C(-2, 1)$ で点 $A(1, -3)$ を通る円の半径 $r$ を求め、その方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点 $A(5, -2)$ と $B(-1, 4)$ を直径の両端とする円の中心 $C$ の座標と半径 $r$ を求め、その方程式を求める。

(2) 中心が点 $C(-2, 1)$ で点 $A(1, -3)$ を通る円の半径 $r$ を求め、その方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点 $A$ と $B$ を直径の両端とする円の中心 $C$ は、$A$ と $B$ の中点である。

中点の公式を用いて、$C$ の座標を求める。

$C = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

$C = (\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{2}{2}) = (2, 1)$

よって、中心 $C$ の座標は $(2, 1)$ である。

次に、半径 $r$ を求める。半径は中心 $C$ と点 $A$ または点 $B$ の距離に等しい。点 $A$ と中心 $C$ の距離を求める。

$r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

よって、半径 $r$ は $3\sqrt{2}$ である。

円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表される。ここで、$(a, b)$ は中心の座標、$r$ は半径である。

中心 $C$ は $(2, 1)$ であり、半径 $r$ は $3\sqrt{2}$ なので、円の方程式は

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$

(2) 中心が $C(-2, 1)$ で点 $A(1, -3)$ を通る円の半径 $r$ は、点 $C$ と点 $A$ の距離に等しい。

$r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{3^2 + 16} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

よって、半径 $r$ は 5 である。

円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表される。ここで、$(a, b)$ は中心の座標、$r$ は半径である。

中心 $C$ は $(-2, 1)$ であり、半径 $r$ は 5 なので、円の方程式は

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 5^2 = 25$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $C$ の座標は $(2, 1)$、半径 $r$ は $3\sqrt{2}$、円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 18$

(2) 半径 $r$ は 5、円の方程式は $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$