点A(0, 1)と直線 $y = 2x - 1$ 上を動く点Pがある。線分APを1:2に内分する点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点A(0, 1)と直線 $y = 2x - 1$ 上を動く点Pがある。線分APを1:2に内分する点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

線分APを1:2に内分する点をQ(x, y)とする。点Pの座標を(s, t)とすると、点Pは直線 $y = 2x - 1$上にあるので、

$t = 2s - 1$ が成り立つ。

点Qは線分APを1:2に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot s}{1+2} = \frac{s}{3}$

$y = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot t}{1+2} = \frac{2+t}{3}$

これらの式からs, tをx, yで表すと、

$s = 3x$

$t = 3y - 2$

これらを $t = 2s - 1$ に代入すると、

$3y - 2 = 2(3x) - 1$

$3y - 2 = 6x - 1$

$3y = 6x + 1$

$y = 2x + \frac{1}{3}$

したがって、求める軌跡は直線 $y = 2x + \frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$y = 2x + \frac{1}{3}$