三角形ABCにおいて、辺ABを3:4に内分する点をD、辺ACを1:2に内分する点をEとし、線分BEと線分CDの交点をPとする。$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$とする。 (1) BP:PE = s:1-sとする。$\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、sを用いて表せ。 CP:PD = t:1-tとする。$\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、tを用いて表せ。 (2)$\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3:4に内分する点をD、辺ACを1:2に内分する点をEとし、線分BEと線分CDの交点をPとする。$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$とする。

(1) BP:PE = s:1-sとする。$\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、sを用いて表せ。

CP:PD = t:1-tとする。$\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、tを用いて表せ。

(2)$\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、sを用いて表す。

Pは線分BE上にあるので、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AE}$

ここで、$\vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{c}$なので、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{b} + s(\frac{1}{3}\vec{c}) = (1-s)\vec{b} + \frac{s}{3}\vec{c}$

次に、$\vec{AP}$を$\vec{b}$、$\vec{c}$、tを用いて表す。

Pは線分CD上にあるので、

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AD}$

ここで、$\vec{AD} = \frac{3}{7}\vec{AB} = \frac{3}{7}\vec{b}$なので、

$\vec{AP} = (1-t)\vec{c} + t(\frac{3}{7}\vec{b}) = \frac{3t}{7}\vec{b} + (1-t)\vec{c}$

(2) (1)で求めた$\vec{AP}$の2つの式は同じベクトルを表しているので、係数を比較すると、

$\vec{b}$の係数: $1-s = \frac{3t}{7}$

$\vec{c}$の係数: $\frac{s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$\frac{s}{3} = 1-t$より、$s = 3 - 3t$

$1-s = \frac{3t}{7}$に代入して、$1-(3-3t) = \frac{3t}{7}$

$-2+3t = \frac{3t}{7}$

$-14 + 21t = 3t$

$18t = 14$

$t = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$

したがって、$s = 3 - 3(\frac{7}{9}) = 3 - \frac{7}{3} = \frac{9-7}{3} = \frac{2}{3}$

$\vec{AP} = (1-s)\vec{b} + \frac{s}{3}\vec{c}$に$s=\frac{2}{3}$を代入して、

$\vec{AP} = (1-\frac{2}{3})\vec{b} + \frac{\frac{2}{3}}{3}\vec{c}$

$\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

または、$\vec{AP} = \frac{3t}{7}\vec{b} + (1-t)\vec{c}$に$t=\frac{7}{9}$を代入して、

$\vec{AP} = \frac{3(\frac{7}{9})}{7}\vec{b} + (1-\frac{7}{9})\vec{c}$

$\vec{AP} = \frac{\frac{7}{3}}{7}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

$\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = (1-s)\vec{b} + \frac{s}{3}\vec{c}$

$\vec{AP} = \frac{3t}{7}\vec{b} + (1-t)\vec{c}$

(2) $\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$