三角形ABCにおいて、$sinA:sinB:sinC = 7:5:3$であるとき、角Aの大きさと、辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$sinA:sinB:sinC = 7:5:3$であるとき、角Aの大きさと、辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、三角形の各辺の比は $a:b:c = sinA:sinB:sinC$ となります。

したがって、$a:b:c = 7:5:3$ となり、$a=7k, b=5k, c=3k$ (kは正の定数) と表すことができます。

角Aを求めるために、余弦定理を利用します。

$cosA = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$cosA = \frac{(5k)^2+(3k)^2-(7k)^2}{2(5k)(3k)} = \frac{25k^2+9k^2-49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

よって、$A=120^\circ$

次に、辺ACを直径とする円の面積を求めます。ACの長さは $b=5k$ です。

円の半径は $\frac{5k}{2}$ となるので、円の面積は

$S_{円} = \pi (\frac{5k}{2})^2 = \frac{25}{4}\pi k^2$

三角形ABCの面積を求めます。

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc sinA = \frac{1}{2}(5k)(3k)sin120^\circ = \frac{15}{2}k^2\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}k^2$

円の面積が三角形の面積の何倍になるか求めます。

$\frac{S_{円}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{25}{4}\pi k^2}{\frac{15\sqrt{3}}{4}k^2} = \frac{25\pi}{15\sqrt{3}} = \frac{5\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

A = 120°

円の面積は三角形ABCの面積の $\frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$ 倍