円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $CD=5$, $DA=5$である。このとき、$BD$の長さを求め、さらに四角形ABCDの面積$S$を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $CD=5$, $DA=5$である。このとき、$BD$の長さを求め、さらに四角形ABCDの面積$S$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $BD$の長さを求める。

四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180度である。

$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle A}$

$BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos{\angle A} = 34 - 30 \cos{\angle A}$ (1)

$\triangle BCD$において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle C}$

$BD^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos{\angle C} = 74 - 70 \cos{\angle C}$ (2)

$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$なので、$\cos{\angle C} = \cos{(180^{\circ} - \angle A)} = -\cos{\angle A}$

(2)に代入すると、

$BD^2 = 74 + 70 \cos{\angle A}$ (3)

(1)と(3)より、

$34 - 30 \cos{\angle A} = 74 + 70 \cos{\angle A}$

$100 \cos{\angle A} = -40$

$\cos{\angle A} = -\frac{40}{100} = -\frac{2}{5}$

(1)に代入すると、

$BD^2 = 34 - 30 \cdot (-\frac{2}{5}) = 34 + 12 = 46$

$BD = \sqrt{46}$

(2) 四角形ABCDの面積$S$を求める。

$S = \triangle ABD + \triangle BCD = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin{\angle A} + \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin{\angle C}$

$\sin^2{\angle A} + \cos^2{\angle A} = 1$より、

$\sin{\angle A} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle A}} = \sqrt{1 - (-\frac{2}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\angle C = 180^{\circ} - \angle A$なので、$\sin{\angle C} = \sin{\angle A} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{3\sqrt{21}}{2} + \frac{7\sqrt{21}}{2} = \frac{10\sqrt{21}}{2} = 5\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$BD = \sqrt{46}$

$S = 5\sqrt{21}$