水平な地面上の地点Cに塔が立っています。地点Pから塔の先端を見上げた角度が60°で、直線CP上でCからPを越えて遠ざかった地点Qから塔の先端を見上げた角度が45°です。PQ = xのとき、塔の高さをxを用いて表します。

1. 問題の内容

水平な地面上の地点Cに塔が立っています。地点Pから塔の先端を見上げた角度が60°で、直線CP上でCからPを越えて遠ざかった地点Qから塔の先端を見上げた角度が45°です。PQ = xのとき、塔の高さをxを用いて表します。

2. 解き方の手順

まず、塔の高さをhとおきます。また、CPの長さをyとおきます。

* 点Qから塔の先端を見上げた角度が45°であることから、CQの長さと塔の高さが等しくなることがわかります。

つまり、$CQ = h$ です。

* $PQ = x$ であり、$CQ = CP + PQ$ であるから、$h = y + x$ が成り立ちます。

よって、$y = h - x$となります。

* 点Pから塔の先端を見上げた角度が60°であることから、$\tan 60^\circ = \frac{h}{y}$が成り立ちます。$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ であるので、 $\sqrt{3} = \frac{h}{y}$ となります。

* 上の式に$y = h - x$を代入すると、$\sqrt{3} = \frac{h}{h-x}$となります。

* この式をhについて解きます。$\sqrt{3}(h-x) = h$ なので、$\sqrt{3}h - \sqrt{3}x = h$となります。

これを整理すると、$(\sqrt{3} - 1)h = \sqrt{3}x$となり、

$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}x$となります。

* 分母を有理化するために、分子と分母に$(\sqrt{3} + 1)$をかけます。

$h = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - 1}x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}x$となります。

3. 最終的な答え

塔の高さは$\frac{3 + \sqrt{3}}{2}x$です。