与えられたベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$、ベクトルの大きさ $|\mathbf{a}|$、 $|\mathbf{b}|$、$\cos \theta$、および $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める問題です。ここで、$\theta$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角です。今回は問題番号3を解きます。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$、ベクトルの大きさ $|\mathbf{a}|$、 $|\mathbf{b}|$、$\cos \theta$、および $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める問題です。ここで、$\theta$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角です。今回は問題番号3を解きます。

2. 解き方の手順

(3) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ の場合：

* 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を計算します。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-3)(2) + (1)(-4) + (4)(3) = -6 - 4 + 12 = 2$

* ベクトルの大きさ $|\mathbf{a}|$ と $|\mathbf{b}|$ を計算します。

$|\mathbf{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$

$|\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

* $\cos \theta$ を計算します。

$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{2}{\sqrt{26} \sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{754}} = \frac{2}{\sqrt{754}}$

* 平行四辺形の面積 $S$ を計算します。

$S = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、 $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ なので、

$\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{754}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{754}} = \sqrt{\frac{750}{754}} = \sqrt{\frac{375}{377}}$

$S = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta = \sqrt{26} \sqrt{29} \sqrt{\frac{750}{754}} = \sqrt{754} \sqrt{\frac{750}{754}} = \sqrt{750} = 5\sqrt{30}$

3. 最終的な答え

(3) の場合：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2$

$|\mathbf{a}| = \sqrt{26}$

$|\mathbf{b}| = \sqrt{29}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{754}}$

$S = 5\sqrt{30}$