三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。線分BCと直線ODの交点をEとする。$|\overrightarrow{OB}|=4$, $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=6$のとき、三角形の面積、ベクトル$\overrightarrow{OC}$,$\overrightarrow{OD}$,$\overrightarrow{OE}$,$\overrightarrow{CF}$の成分などを求める問題。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。線分BCと直線ODの交点をEとする。$|\overrightarrow{OB}|=4$, $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=6$のとき、三角形の面積、ベクトル$\overrightarrow{OC}$,$\overrightarrow{OD}$,$\overrightarrow{OE}$,$\overrightarrow{CF}$の成分などを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OC}$について

点Cは辺OAを1:2に内分するので、$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$.

(2) $\overrightarrow{OD}$について

点Dは辺ABを1:2に内分するので、$\overrightarrow{OD} = \frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$.

(3) $\overrightarrow{OE}$について

点Eは直線OD上にあるので、実数$s$を用いて$\overrightarrow{OE} = s\overrightarrow{OD} = s(\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{2s}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{s}{3}\overrightarrow{OB}$.

また、点Eは直線BC上にあるので、実数$t$を用いて$\overrightarrow{OE} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}) = \frac{t}{3}\overrightarrow{OA} + (1-t)\overrightarrow{OB}$.

したがって、$\frac{2s}{3} = \frac{t}{3}$かつ$\frac{s}{3} = 1-t$.

これより、$2s = t$と$s = 3-3t$が成り立つ。

$s = 3 - 3(2s) = 3 - 6s$.

$7s = 3$.

$s = \frac{3}{7}$.

$t = 2s = \frac{6}{7}$.

よって、$\overrightarrow{OE} = \frac{3}{7}\overrightarrow{OD}$.

(4) 三角形OABの面積について

三角形OABの面積$S$は$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2 - (\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}$で与えられる。

$|\overrightarrow{OB}|=4$と$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=6$が与えられている。

また、$|\overrightarrow{OB}|^2 = 4^2 = 16$.

$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2\cdot 16 - 6^2} = \frac{1}{2}\sqrt{16|\overrightarrow{OA}|^2 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{4(4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9)} = \sqrt{4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9}$.

(5) $\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{OB}$について

$\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$.

$\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{OB} = (k\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}) \cdot \overrightarrow{OB} = k\overrightarrow{OF}\cdot\overrightarrow{OB} - |\overrightarrow{OB}|^2 - \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = k\overrightarrow{OF}\cdot\overrightarrow{OB} - 16 - \frac{1}{3}(6) = k\overrightarrow{OF}\cdot\overrightarrow{OB} - 18$.

(6) $\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{OB}$のとき

$\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{OB}$のとき、$\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{OB} = 0$なので、$k\overrightarrow{OF}\cdot\overrightarrow{OB} - 18 = 0$.

(7) 三角形BEFの面積について

3. 最終的な答え

ア：1

イ：3

ウ：2

エ：3

オ：1

カ：3

キ：3

ク：2

ケ：3

コ：7

サ：6

シ：7

ス：4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9