(1) 2点 $A(1, 3)$ と $B(6, 1)$ を結ぶ線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求めます。 (2) 2直線 $2x + 3y + 2 = 0$ と $x + 2y + 3 = 0$ の交点を通り、傾きが2である直線の方程式を求めます。 (3) 3点 $(0, 0)$, $(3, 3)$, $(1, a)$ を頂点とする三角形の面積が9であるとき、$a$ の値を求めます。 (4) 4点 $A(a, b)$, $B(-1, 0)$, $C(2, 1)$, $D(0, 2)$ がある。 [1] 点 $D$ が三角形 $ABC$ の重心となるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。 [2] 三角形 $ABC$ において $\angle B = 90^\circ$ で、点 $D$ が辺 $AC$ 上にあるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 2点 $A(1, 3)$ と $B(6, 1)$ を結ぶ線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求めます。

(2) 2直線 $2x + 3y + 2 = 0$ と $x + 2y + 3 = 0$ の交点を通り、傾きが2である直線の方程式を求めます。

(3) 3点 $(0, 0)$, $(3, 3)$, $(1, a)$ を頂点とする三角形の面積が9であるとき、$a$ の値を求めます。

(4) 4点 $A(a, b)$, $B(-1, 0)$, $C(2, 1)$, $D(0, 2)$ がある。

[1] 点 $D$ が三角形 $ABC$ の重心となるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

[2] 三角形 $ABC$ において $\angle B = 90^\circ$ で、点 $D$ が辺 $AC$ 上にあるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、$M$ の座標は

$M = \left(\frac{1+6}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, 2\right)$

線分 $AB$ の傾きは $\frac{1-3}{6-1} = \frac{-2}{5}$ であるから、垂直二等分線の傾きは $\frac{5}{2}$ である。

したがって、垂直二等分線の方程式は

$y - 2 = \frac{5}{2} \left(x - \frac{7}{2}\right)$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{35}{4} + 2 = \frac{5}{2}x - \frac{27}{4}$

$4y = 10x - 27$

$10x - 4y - 27 = 0$

(2) 連立方程式

$2x + 3y + 2 = 0$

$x + 2y + 3 = 0$

を解く。下の式を2倍すると $2x + 4y + 6 = 0$ となり、上の式を引くと $y + 4 = 0$, つまり $y = -4$ である。

$x + 2(-4) + 3 = 0$ より $x = 5$ となる。

したがって、交点の座標は $(5, -4)$ である。

傾きが2で、点 $(5, -4)$ を通る直線の方程式は

$y - (-4) = 2(x - 5)$

$y + 4 = 2x - 10$

$y = 2x - 14$

$2x - y - 14 = 0$

(3) 3点 $(0, 0), (3, 3), (1, a)$ を頂点とする三角形の面積は

$\frac{1}{2} |3a - 3| = 9$

$|3a - 3| = 18$

$3a - 3 = 18$ または $3a - 3 = -18$

$3a = 21$ または $3a = -15$

$a = 7$ または $a = -5$

(4) [1] 点 $D(0, 2)$ が三角形 $ABC$ の重心であるとき、

$\frac{a + (-1) + 2}{3} = 0$ かつ $\frac{b + 0 + 1}{3} = 2$

$a + 1 = 0$ かつ $b + 1 = 6$

$a = -1$ かつ $b = 5$

[2] $\angle B = 90^\circ$ であるから、$AB \perp BC$

$AB$ の傾きは $\frac{b - 0}{a - (-1)} = \frac{b}{a+1}$

$BC$ の傾きは $\frac{1 - 0}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$

$\frac{b}{a+1} \cdot \frac{1}{3} = -1$

$b = -3(a+1) = -3a - 3$

点 $D(0, 2)$ が辺 $AC$ 上にあるから、直線 $AC$ の方程式を求める。

$AC$ の傾きは $\frac{1 - b}{2 - a}$

$AC$ の方程式は $y - b = \frac{1 - b}{2 - a}(x - a)$

点 $D(0, 2)$ を通るから

$2 - b = \frac{1 - b}{2 - a}(-a)$

$(2 - b)(2 - a) = -a(1 - b)$

$4 - 2a - 2b + ab = -a + ab$

$4 - a - 2b = 0$

$a = 4 - 2b$

$b = -3a - 3 = -3(4 - 2b) - 3 = -12 + 6b - 3 = 6b - 15$

$5b = 15$

$b = 3$

$a = 4 - 2(3) = -2$

3. 最終的な答え

(1) $10x - 4y - 27 = 0$

(2) $2x - y - 14 = 0$

(3) $a = 7$ または $a = -5$

(4) [1] $a = -1$, $b = 5$

[2] $a = -2$, $b = 3$