半径 $r$ の円形の公園の周囲に、幅 $h$ の遊歩道がある。遊歩道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ とするとき、遊歩道の面積 $S$ を $h$ と $l$ の式で表す問題。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円形の公園の周囲に、幅 $h$ の遊歩道がある。遊歩道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ とするとき、遊歩道の面積 $S$ を $h$ と $l$ の式で表す問題。

2. 解き方の手順

遊歩道の外側の円の半径は $r+h$ である。

遊歩道の面積 $S$ は、外側の円の面積から内側の円（公園）の面積を引いたものなので、

$S = \pi (r+h)^2 - \pi r^2$

$= \pi (r^2 + 2rh + h^2) - \pi r^2$

$= \pi r^2 + 2\pi rh + \pi h^2 - \pi r^2$

$= 2\pi rh + \pi h^2$

$= \pi h(2r + h)$

遊歩道の真ん中を通る円の半径は $r + \frac{h}{2}$ であるから、その円周の長さ $l$ は、

$l = 2\pi (r + \frac{h}{2}) = 2\pi r + \pi h$

したがって、

$2\pi r = l - \pi h$

これを面積 $S$ の式に代入すると、

$S = h(2\pi r + \pi h) = h(l - \pi h + \pi h) = hl$

3. 最終的な答え

$S = hl$