三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。ベクトルOEを、ODを用いて表し、またOBとBCを用いて表す。その後、内積や三角形の面積に関する値を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。ベクトルOEを、ODを用いて表し、またOBとBCを用いて表す。その後、内積や三角形の面積に関する値を求める。

2. 解き方の手順

まず、OCとODをOAとOBを用いて表す。

$OC = \frac{1}{3}OA$

$OD = \frac{2}{3}OA + \frac{1}{3}OB$

次に、OEをODを用いて表すと、$OE = sOD$ (sは実数)

また、OEをOBとBCを用いて表すと、$OE = tOC + (1-t)OB$ (tは実数)

ここで、$BC = OC - OB$なので、$OE = tOC + (1-t)OB = t\frac{1}{3}OA + (1-t)OB = \frac{t}{3}OA + (1-t)OB$

よって、$OE = sOD = s(\frac{2}{3}OA + \frac{1}{3}OB) = \frac{2s}{3}OA + \frac{s}{3}OB$

$OE = \frac{t}{3}OA + (1-t)OB$

OAとOBは一次独立なので、係数を比較すると、

$\frac{2s}{3} = \frac{t}{3}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

これを解くと、

$2s = t$

$s = 3 - 3t$

$s = 3 - 3(2s)$

$s = 3 - 6s$

$7s = 3$

$s = \frac{3}{7}$

$t = 2s = \frac{6}{7}$

したがって、$OE = \frac{3}{7}OD$

$OE = \frac{2}{7}OA + \frac{3}{7}OB$

次に、CF・OBをkを用いて表す。

$OF = kOB$より、$CF = OF - OC = kOB - \frac{1}{3}OA$

$CF・OB = (kOB - \frac{1}{3}OA)・OB = kOB・OB - \frac{1}{3}OA・OB = k|OB|^2 - \frac{1}{3}OA・OB$

$CF・OB = 16k - \frac{1}{3} * 6 = 16k - 2$

CF⊥OBのとき、$CF・OB = 0$なので、

$16k - 2 = 0$

$16k = 2$

$k = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

三角形OABの面積は $\frac{1}{2}\sqrt{|OA|^2|OB|^2 - (OA・OB)^2}$ であり、|OB|=4, OA・OB=6なので、|OA|=xとすると、

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2*16 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{16x^2 - 36} = \sqrt{4x^2-9}$

$\frac{1}{2} \sqrt{|OA|^2 |OB|^2 - (OA \cdot OB)^2}= \frac{1}{2} \sqrt{|OA|^2 \cdot 4^2 - 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16|OA|^2 - 36} = \sqrt{4|OA|^2 -9}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 3

ウ: 2

エ: 2

オ: 1

カ: 3

キ: 3

ク: 1

ケ: 3

コ: 7

サ: 6

シ: 7

ソ: 16

タ: k

チ: 2

ツ: 0

テ: 1

ト: 8

ス: 4

セ: |OA|^2 - 9