三角形ABCにおいて、$AB = 12$, $BC = 7$, $CA = 9$である。辺BC上に点Dを$BD = 4$を満たすようにとる。点Aを通り、線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$と$\triangle ACD$の面積は$\triangle ACE$の面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 12$, $BC = 7$, $CA = 9$である。辺BC上に点Dを$BD = 4$を満たすようにとる。点Aを通り、線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$と$\triangle ACD$の面積は$\triangle ACE$の面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

まず、$CD = BC - BD = 7 - 4 = 3$である。

$\angle DAE = 90^\circ$より、$\triangle ADE$は直角三角形である。

$\angle ADE = \theta$とおくと、$\angle EAC = 90^\circ - \angle DAC$であり、$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$である。

$\triangle ABD$において余弦定理より

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 AB \cdot BD \cos B$

$\triangle ABC$において余弦定理より

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 AB \cdot BC} = \frac{12^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 12 \cdot 7} = \frac{144 + 49 - 81}{168} = \frac{112}{168} = \frac{2}{3}$

したがって、

$AD^2 = 12^2 + 4^2 - 2 \cdot 12 \cdot 4 \cdot \frac{2}{3} = 144 + 16 - 64 = 96$

$AD = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$

$\triangle ADC$において余弦定理より

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 AC \cdot CD \cos C$

$\triangle ABC$において余弦定理より

$\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 AC \cdot BC} = \frac{9^2 + 7^2 - 12^2}{2 \cdot 9 \cdot 7} = \frac{81 + 49 - 144}{126} = \frac{-14}{126} = -\frac{1}{9}$

したがって、

$AD^2 = 9^2 + 3^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{9}) = 81 + 9 + 6 = 96$

$AD = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$

$\angle DAE = 90^\circ$より、$AD \perp AE$なので、$\triangle ADE$は直角三角形である。

$\triangle ABE$において、$AD$は$\angle BAE$の内角の二等分線である。

$AB:AE = BD:DE$である。（角の二等分線の定理）

$AE:AD = DE:BE$なので、$AD \cdot DE = AE \cdot BE$

$\triangle ABC$と$\triangle ABE$において、$AE$は外角の二等分線なので、

$AB:AC = BE:CE$が成り立つ。

$CE = BE+BC$なので、$AB:AC = BE:(BE+BC)$

$12:9 = BE:(BE+7)$

$12(BE+7) = 9 BE$

$12 BE + 84 = 9 BE$

$3 BE = -84$

$BE = -28$ (ありえない)

$\triangle ADE$において、$AE \perp AD$より、$\angle DAE = 90^\circ$なので、$\triangle ADE$は直角三角形である。

$\triangle ADB \sim \triangle AEC$である。

$\frac{AD}{AE} = \frac{BD}{EC} = \frac{AB}{AC}$

$BD = 4, AB=12, AC=9$より、$\frac{BD}{EC} = \frac{AB}{AC}$なので、$\frac{4}{EC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$EC = 3$

$EC = BC+BE$より、$3 = 7+BE$なので、$BE = -4$ (ありえない)

$\triangle ABD$と$\triangle CAE$において、

$\angle ADB = \angle CAE$

$\angle BAD = \angle ACE$

$\angle ABC = \angle AEC$

$\frac{BE}{9} = \frac{4}{12}$

$BE \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 36$

$BE = 3$

$\triangle ACD$の面積$/ \triangle ACE$の面積$= CD/CE = 3/(BC+BE)=3/(7+3) = 3/10$

3. 最終的な答え

$BE = 3$であり、$\triangle ACD$の面積は$\triangle ACE$の面積の$\frac{3}{10}$倍である。