問題2は、$\triangle ABC$と点$P$があり、$5\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$を満たしている。2点$A, P$を通る直線が辺$BC$と交わる点を$D$とするとき、$BD:DC$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題2は、$\triangle ABC$と点$P$があり、$5\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$を満たしている。2点$A, P$を通る直線が辺$BC$と交わる点を$D$とするとき、$BD:DC$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を点Aを基準としたベクトルで表します。

$5\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ より、

$-5\vec{AP} + 2(\vec{AB} - \vec{AP}) + 3(\vec{AC} - \vec{AP}) = \vec{0}$

$-5\vec{AP} + 2\vec{AB} - 2\vec{AP} + 3\vec{AC} - 3\vec{AP} = \vec{0}$

$2\vec{AB} + 3\vec{AC} = 10\vec{AP}$

$\vec{AP} = \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{10}$

$\vec{AP} = \frac{1}{5} \vec{AB} + \frac{3}{10} \vec{AC}$

点$D$は直線$AP$上にあるので、実数$k$を用いて $\vec{AD} = k\vec{AP}$ と表せます。

$\vec{AD} = k(\frac{1}{5} \vec{AB} + \frac{3}{10} \vec{AC})$

$\vec{AD} = \frac{k}{5} \vec{AB} + \frac{3k}{10} \vec{AC}$

点$D$は直線$BC$上にあるので、$\frac{k}{5} + \frac{3k}{10} = 1$ となります。

これを解くと、

$\frac{2k}{10} + \frac{3k}{10} = 1$

$\frac{5k}{10} = 1$

$5k = 10$

$k = 2$

$\vec{AD} = \frac{2}{5} \vec{AB} + \frac{6}{10} \vec{AC}$

$\vec{AD} = \frac{2}{5} \vec{AB} + \frac{3}{5} \vec{AC}$

$\vec{AD} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{2}\vec{AC}$

ここで、点$D$は辺$BC$を内分する点であるから、$\vec{AD}$は$\vec{BD} = m\vec{BC}$であるような$m$を用いて、

$\vec{AD} = (1-t)\vec{AB}+t\vec{AC}$と表すことができる。

したがって、点Dは辺BCを$t:(1-t)$に内分するといえる。

いま、$BD : DC = t : (1-t)$ となる $t$を求めれば良い。

また、

$\vec{OD}=\frac{OC+kOB}{1+k}$

$\vec{AD}=\frac{n\vec{AB}+m\vec{AC}}{n+m}$

点Dは辺BC上にあるから、ある実数$t$を用いて、$\vec{BD} = t\vec{BC}$と表せる。

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + t\vec{BC} = \vec{AB} + t(\vec{AC} - \vec{AB}) = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$

したがって、$\vec{AD} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\frac{2}{5} = 1-t$, $\frac{3}{5} = t$

$BD:DC = t : (1-t) = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3:2$

3. 最終的な答え

$BD:DC = 3:2$