$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$ のとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。ただし、$0 \le \theta \le \pi$ とする。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$ のとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。ただし、$0 \le \theta \le \pi$ とする。

2. 解き方の手順

$|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算し、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。その後、内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ を用いて $\cos\theta$ を求め、$\theta$ を計算する。

まず、$|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた条件から $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$ なので、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 13$

また、$|\vec{a}| = 1$ と $|\vec{b}| = 3$ なので、

$13 = 1^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3^2 = 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 9 = 10 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

これから、

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 - 13 = -3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{3}{2}$

次に、内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ を用いる。

$-\frac{3}{2} = 1 \cdot 3 \cdot \cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、

$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi$