与えられた直線 $y = \sqrt{3}x + 6$ について、以下の2つの問題を解く。 (1) 点 $(\sqrt{3}, 5)$ と直線との距離の二乗を求める。 (2) 原点 $(0, 0)$ と直線との距離の二乗を求める。

1. 問題の内容

与えられた直線 $y = \sqrt{3}x + 6$ について、以下の2つの問題を解く。

(1) 点 $(\sqrt{3}, 5)$ と直線との距離の二乗を求める。

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線との距離の二乗を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(\sqrt{3}, 5)$ と直線 $y = \sqrt{3}x + 6$ との距離の二乗を求める。

直線の方程式を一般形に変形する。

$\sqrt{3}x - y + 6 = 0$

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は、以下の式で与えられる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

したがって、点 $(\sqrt{3}, 5)$ と直線 $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$ との距離 $d$ は、

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 5 + 6|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 - 5 + 6|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|4|}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2$

求める距離の二乗は $d^2 = 2^2 = 4$

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $y = \sqrt{3}x + 6$ との距離の二乗を求める。

直線の方程式は $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$ である。

点 $(0, 0)$ と直線 $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$ との距離 $d$ は、

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot 0 - 0 + 6|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3$

求める距離の二乗は $d^2 = 3^2 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 点 $(\sqrt{3}, 5)$ と直線 $y = \sqrt{3}x + 6$ との距離の二乗は $4$。

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $y = \sqrt{3}x + 6$ との距離の二乗は $9$。