$\cos 4\theta = 1 - \boxed{?} \sin^2\theta \cos^2\theta$ が成り立つとき、$\boxed{?}$ に入る数字を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos 4\theta = 1 - \boxed{?} \sin^2\theta \cos^2\theta$ が成り立つとき、$\boxed{?}$ に入る数字を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式を用いて $\cos 4\theta$ を変形する。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を使うと、

$\cos 4\theta = \cos (2 \cdot 2\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta)$

さらに、$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ なので、

$\sin^2(2\theta) = (2\sin\theta \cos\theta)^2 = 4\sin^2\theta \cos^2\theta$

したがって、

$\cos 4\theta = 1 - 2(4\sin^2\theta \cos^2\theta) = 1 - 8\sin^2\theta \cos^2\theta$

3. 最終的な答え

$\boxed{?}$ に入る数字は 8 である。