半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す。

1. 問題の内容

半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを、球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す。

2. 解き方の手順

まず、球の方程式を極座標で表すことを考える。極座標系において、

$x = a\sin\theta\cos\phi$,

$y = a\sin\theta\sin\phi$,

$z = a\cos\theta$

と表せる。ここで、$0 \le \theta \le \pi$、$0 \le \phi \le 2\pi$ である。

次に、面積素 $dS$ を計算する。これは、

$dS = || \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} || d\theta d\phi$

で与えられる。ここで、$\vec{r} = (x, y, z)$ は位置ベクトルである。

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (a\cos\theta\cos\phi, a\cos\theta\sin\phi, -a\sin\theta)$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (-a\sin\theta\sin\phi, a\sin\theta\cos\phi, 0)$

これらの外積は、

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (a^2\sin^2\theta\cos\phi, a^2\sin^2\theta\sin\phi, a^2\sin\theta\cos\theta)$

このベクトルの大きさは、

$|| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} || = \sqrt{(a^2\sin^2\theta\cos\phi)^2 + (a^2\sin^2\theta\sin\phi)^2 + (a^2\sin\theta\cos\theta)^2} = \sqrt{a^4\sin^4\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi) + a^4\sin^2\theta\cos^2\theta} = \sqrt{a^4\sin^4\theta + a^4\sin^2\theta\cos^2\theta} = \sqrt{a^4\sin^2\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta)} = \sqrt{a^4\sin^2\theta} = a^2\sin\theta$

したがって、面積素は $dS = a^2\sin\theta d\theta d\phi$ となる。

球の表面積 $S$ は、$dS$ を $\theta$ と $\phi$ について積分することで得られる。

$S = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} a^2\sin\theta d\theta d\phi = a^2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta$

$= a^2 [\phi]_0^{2\pi} [-\cos\theta]_0^{\pi} = a^2 (2\pi)(-\cos\pi + \cos0) = a^2 (2\pi)(-(-1) + 1) = a^2 (2\pi)(2) = 4\pi a^2$

3. 最終的な答え

したがって、半径 $a$ の球の表面積は $4\pi a^2$ である。