問題1: 原点O、点P(3, 1)、点Q(-2, 5)とする。 (1) ベクトルOPとOQの内積を求める。 (2) 線分OPとOQでできる平行四辺形の面積を求める。 問題2: 原点O、点P(2, 1)、点R(6, 3)とする。 点Pを通りORと直交する直線の式を $y = ax + b$ と書くとき、$a, b$ の値を求める。 問題3: ある直線の式が $= 12x + 33$ であるとする。この直線の法線ベクトルを $\begin{pmatrix} c \\ -1 \end{pmatrix}$と書くとき、$c$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題1:

原点O、点P(3, 1)、点Q(-2, 5)とする。

(1) ベクトルOPとOQの内積を求める。

(2) 線分OPとOQでできる平行四辺形の面積を求める。

問題2:

原点O、点P(2, 1)、点R(6, 3)とする。

点Pを通りORと直交する直線の式を $y = ax + b$ と書くとき、$a, b$ の値を求める。

問題3:

ある直線の式が $= 12x + 33$ であるとする。この直線の法線ベクトルを $\begin{pmatrix} c \\ -1 \end{pmatrix}$と書くとき、$c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) ベクトルOPとOQの内積は、各成分の積の和で計算できます。

$OP = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, OQ = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$

$OP \cdot OQ = (3)(-2) + (1)(5) = -6 + 5 = -1$

(2) 平行四辺形の面積は、ベクトルOPとOQで作られる行列式の絶対値で計算できます。

面積 $= |(3)(5) - (1)(-2)| = |15 + 2| = |17| = 17$

問題2:

ベクトルORは $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$ です。ORに直交するベクトルの傾きは、ORの傾きの逆数の負の数です。

ORの傾きは $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。

したがって、求める直線の傾き $a$ は $-\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$ です。

直線 $y = -2x + b$ は点P(2, 1)を通るので、これを代入すると

$1 = -2(2) + b$

$1 = -4 + b$

$b = 5$

問題3:

直線の式 $y = 12x + 33$ を変形すると、 $12x - y + 33 = 0$ となります。

この直線の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 12 \\ -1 \end{pmatrix}$ と表せます。

問題文では、法線ベクトルを $\begin{pmatrix} c \\ -1 \end{pmatrix}$ と表しているので、$c = 12$ となります。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) -1

(2) 17

問題2:

a = -2

b = 5

問題3:

c = 12