台形ABCDにおいて、ADとBCが平行で、$AB=CD=4$, $AD=6$, $AC=BD=8$である。ただし、$BC>AD$である。 (1) $\cos \angle ADB$ の値を求めよ。 (2) $\triangle ABD$ の面積を求めよ。また、辺BCの長さを求めよ。 (3) 辺BCの中点をMとする。線分AM, DMを折り目として、$\triangle ABM$, $\triangle DCM$をそれぞれ折り返し、点B,Cが重なるようにする。重なった点をPとし、四面体PADMを作る。点Pから平面AMDに垂線を引ぎ、平面AMDとの交点をHとする。線分AHの長さを求めよ。また、四面体PADMの体積を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、ADとBCが平行で、$AB=CD=4$, $AD=6$, $AC=BD=8$である。ただし、$BC>AD$である。

(1) $\cos \angle ADB$ の値を求めよ。

(2) $\triangle ABD$ の面積を求めよ。また、辺BCの長さを求めよ。

(3) 辺BCの中点をMとする。線分AM, DMを折り目として、$\triangle ABM$, $\triangle DCM$をそれぞれ折り返し、点B,Cが重なるようにする。重なった点をPとし、四面体PADMを作る。点Pから平面AMDに垂線を引ぎ、平面AMDとの交点をHとする。線分AHの長さを求めよ。また、四面体PADMの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$において、余弦定理を用いると、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \angle ADB$

$4^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos \angle ADB$

$16 = 36 + 64 - 96 \cos \angle ADB$

$96 \cos \angle ADB = 84$

$\cos \angle ADB = \frac{84}{96} = \frac{7}{8}$

(2) $\triangle ABD$の面積Sは、$S = \frac{1}{2}AD \cdot BD \cdot \sin \angle ADB$

$\sin^2 \angle ADB + \cos^2 \angle ADB = 1$より、

$\sin^2 \angle ADB = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$

$\sin \angle ADB = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = 3\sqrt{15}$

次に、台形ABCDについて考える。台形ABCDは等脚台形である。

A,DからBCに垂線を下ろし、それぞれの交点をE,Fとする。

$EF = AD = 6$

$BE = CF$

$BC = BE + EF + CF = 2BE + 6$

$\triangle ABE$において、$AE^2 + BE^2 = AB^2$

$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 4^2 - BE^2 = 16 - BE^2$

また、$\triangle AFC$において、$AF^2 + CF^2 = AC^2$

$CF = BE$

$AE = DF$

$\triangle DBF$において、$DF^2 + BF^2 = BD^2$

$DF^2 = BD^2 - BF^2 = 8^2 - (6 + BE)^2$

$16 - BE^2 = 64 - (6 + BE)^2 = 64 - (36 + 12BE + BE^2)$

$16 - BE^2 = 28 - 12BE - BE^2$

$12BE = 12$

$BE = 1$

$BC = 2BE + 6 = 2 + 6 = 8$

(3) $AM = DM$

$\triangle ABM$を折り返すと、$\triangle APM$となる。

$\triangle DCM$を折り返すと、$\triangle DPM$となる。

$AM = DM$なので、$\triangle AMD$は二等辺三角形。

$AH$は$\triangle AMD$の高さの一部となる。

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ADB = \frac{7}{8}$

(2) $\triangle ABD$の面積は、$3\sqrt{15}$、BCの長さは8

(3) 計算中です。