等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ を証明します。

1. 問題の内容

等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、左辺を変形していきます。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であることを利用します。

$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta$

$\sin^2\theta$ でくくります。

$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta = \sin^2\theta(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1)$

$\sin^2\theta$ の外の括弧の中を計算します。

$\frac{1}{\cos^2\theta} - 1 = \frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}$

三角関数の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ です。

よって、

$\frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$

$\sin^2\theta(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1) = \sin^2\theta(\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta})$

$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta$ なので、

$\sin^2\theta(\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}) = \sin^2\theta \tan^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$

これは右辺に等しいです。よって与式は証明されました。

3. 最終的な答え

$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ は証明された。