平面上の任意の点を$(x, y, z)$とする。このとき、ベクトル$\begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - 3 \\ z - 2 \end{pmatrix}$は、平面に平行なベクトルとなる。 $\vec{a}$が平面に直交する法線ベクトルであるから、$\begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 3 \\ z - 2 \end{pmatrix}$と$\vec{a}$の内積は0になる。 $2(x + 1) + 4(y - 3) - 1(z - 2) = 0$ $2x + 2 + 4y - 12 - z + 2 = 0$ $2x + 4y - z - 8 = 0$ したがって、平面の方程式は$2x + 4y - z = 8$

## 課題02の解答

### (1) 問題の内容

点$(-1, 3, 2)$を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$に直交する平面の方程式を求め、その平面と原点$(0, 0, 0)$、点$(-1, 2, 2)$との距離$l_0, l_1$をそれぞれ求める。

### (1) 解き方の手順

1. **平面の方程式を求める:**

平面上の任意の点を$(x, y, z)$とする。このとき、ベクトル$\begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - 3 \\ z - 2 \end{pmatrix}$は、平面に平行なベクトルとなる。

$\vec{a}$が平面に直交する法線ベクトルであるから、$\begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 3 \\ z - 2 \end{pmatrix}$と$\vec{a}$の内積は0になる。

$2(x + 1) + 4(y - 3) - 1(z - 2) = 0$

$2x + 2 + 4y - 12 - z + 2 = 0$

$2x + 4y - z - 8 = 0$

したがって、平面の方程式は$2x + 4y - z = 8$

2. **原点との距離$l_0$を求める:**

平面$ax + by + cz + d = 0$と点$(x_0, y_0, z_0)$との距離$l$は、

$l = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$で与えられる。

この式に、平面$2x + 4y - z - 8 = 0$と原点$(0, 0, 0)$を代入すると、

$l_0 = \frac{|2(0) + 4(0) - (0) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$

3. **点$(-1, 2, 2)$との距離$l_1$を求める:**

同様に、平面$2x + 4y - z - 8 = 0$と点$(-1, 2, 2)$との距離$l_1$は、

$l_1 = \frac{|2(-1) + 4(2) - (2) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 + 8 - 2 - 8|}{\sqrt{21}} = \frac{|-4|}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}}$

### (1) 最終的な答え

平面の方程式: $2x + 4y - z = 8$

原点との距離 $l_0 = \frac{8}{\sqrt{21}}$

点$(-1, 2, 2)$との距離 $l_1 = \frac{4}{\sqrt{21}}$

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### (2) 問題の内容

点$(1, 2, -3)$を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$に直交する平面の方程式を求め、その平面と原点$(0, 0, 0)$、点$(3, 1, -2)$との距離$l_0, l_1$をそれぞれ求める。

### (2) 解き方の手順

1. **平面の方程式を求める:**

平面上の任意の点を$(x, y, z)$とする。このとき、ベクトル$\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \\ z - (-3) \end{pmatrix}$は、平面に平行なベクトルとなる。

$\vec{a}$が平面に直交する法線ベクトルであるから、$\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \\ z + 3 \end{pmatrix}$と$\vec{a}$の内積は0になる。

$-1(x - 1) + 3(y - 2) + 2(z + 3) = 0$

$-x + 1 + 3y - 6 + 2z + 6 = 0$

$-x + 3y + 2z + 1 = 0$

したがって、平面の方程式は$-x + 3y + 2z = -1$

2. **原点との距離$l_0$を求める:**

平面$-x + 3y + 2z + 1 = 0$と原点$(0, 0, 0)$との距離$l_0$は、

$l_0 = \frac{|-1(0) + 3(0) + 2(0) + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$

3. **点$(3, 1, -2)$との距離$l_1$を求める:**

平面$-x + 3y + 2z + 1 = 0$と点$(3, 1, -2)$との距離$l_1$は、

$l_1 = \frac{|-1(3) + 3(1) + 2(-2) + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|-3 + 3 - 4 + 1|}{\sqrt{14}} = \frac{|-3|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$

### (2) 最終的な答え

平面の方程式: $-x + 3y + 2z = -1$

原点との距離 $l_0 = \frac{1}{\sqrt{14}}$

点$(3, 1, -2)$との距離 $l_1 = \frac{3}{\sqrt{14}}$

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### (3) 問題の内容

点$(3, 6, -2)$を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$に平行な直線を求める。

### (3) 解き方の手順

1. **直線の方程式を求める:**

直線上の任意の点を$(x, y, z)$とする。このとき、ベクトル$\begin{pmatrix} x - 3 \\ y - 6 \\ z - (-2) \end{pmatrix}$は、$\vec{a}$に平行なベクトルとなる。

したがって、ある実数$t$を用いて、$\begin{pmatrix} x - 3 \\ y - 6 \\ z + 2 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$と表せる。

$x - 3 = -3t$

$y - 6 = 2t$

$z + 2 = 3t$

よって、

$x = -3t + 3$

$y = 2t + 6$

$z = 3t - 2$

これが直線の方程式（パラメータ表示）である。

### (3) 最終的な答え

直線の方程式:

$x = -3t + 3$

$y = 2t + 6$

$z = 3t - 2$

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### (4) 問題の内容

点$(3, -4, 2)$を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$に平行な直線を求める。

### (4) 解き方の手順

1. **直線の方程式を求める:**

直線上の任意の点を$(x, y, z)$とする。このとき、ベクトル$\begin{pmatrix} x - 3 \\ y - (-4) \\ z - 2 \end{pmatrix}$は、$\vec{a}$に平行なベクトルとなる。

したがって、ある実数$t$を用いて、$\begin{pmatrix} x - 3 \\ y + 4 \\ z - 2 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$と表せる。

$x - 3 = -2t$

$y + 4 = t$

$z - 2 = 4t$

よって、

$x = -2t + 3$

$y = t - 4$

$z = 4t + 2$

これが直線の方程式（パラメータ表示）である。

### (4) 最終的な答え

直線の方程式:

$x = -2t + 3$

$y = t - 4$

$z = 4t + 2$

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### (5) 問題の内容

2点A$(6, -4, 1)$, B$(4, -5, 3)$を通る直線を求める。

### (5) 解き方の手順

1. **方向ベクトルを求める:**

2点A, Bを通る直線の方向ベクトルは、$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. **直線の方程式を求める:**

直線上の任意の点を$(x, y, z)$とする。このとき、ベクトル$\begin{pmatrix} x - 6 \\ y - (-4) \\ z - 1 \end{pmatrix}$は、$\vec{AB}$に平行なベクトルとなる。

したがって、ある実数$t$を用いて、$\begin{pmatrix} x - 6 \\ y + 4 \\ z - 1 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$と表せる。

$x - 6 = -2t$

$y + 4 = -t$

$z - 1 = 2t$

よって、

$x = -2t + 6$

$y = -t - 4$

$z = 2t + 1$

これが直線の方程式（パラメータ表示）である。

### (5) 最終的な答え

直線の方程式:

$x = -2t + 6$

$y = -t - 4$

$z = 2t + 1$