点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線を求めます。

1. 問題の内容

点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線を求めます。

2. 解き方の手順

直線上の任意の点を $\vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とします。

与えられた点 $\vec{r_0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線の方程式は、パラメータ $t$ を用いて次のように表されます。

$$\vec{r} = \vec{r_0} + t \vec{a}$$

これを成分で表すと次のようになります。

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

各成分ごとに書き出すと、次のようになります。

$$x = 3 - 2t$$

$$y = -4 + t$$

$$z = 2 + 4t$$

これらの式からパラメータ $t$ を消去して、直線の方程式を得ます。

まず、$y$ の式から $t = y + 4$ となります。

これを $x$ と $z$ の式に代入します。

$$x = 3 - 2(y + 4) = 3 - 2y - 8 = -2y - 5$$

$$z = 2 + 4(y + 4) = 2 + 4y + 16 = 4y + 18$$

$x$ と $z$ を $y$ で表す代わりに、パラメータ表示の形で直線を記述することもできます。

3. 最終的な答え

直線の方程式は、パラメータ表示では以下のようになります。

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

または、各成分ごとに

$$x = 3 - 2t$$

$$y = -4 + t$$

$$z = 2 + 4t$$

と表すことができます。