点$(-1, 3, 2)$を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$に直交する平面を求め、求めた平面と原点$(0,0,0)$との距離$l_0$と点$(-1, 2, 2)$との距離$l_1$を求める。

1. 問題の内容

点$(-1, 3, 2)$を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$に直交する平面を求め、求めた平面と原点$(0,0,0)$との距離$l_0$と点$(-1, 2, 2)$との距離$l_1$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面の方程式を求める。

ベクトル$\vec{a}$に直交する平面の方程式は、$\vec{a}$を法線ベクトルとして、$2x + 4y - z = d$と表せる。この平面が点$(-1, 3, 2)$を通るので、この点を代入して$d$を求める。

$2(-1) + 4(3) - 2 = d$

$-2 + 12 - 2 = d$

$d = 8$

したがって、求める平面の方程式は

$2x + 4y - z = 8$

または

$2x + 4y - z - 8 = 0$

(2) 平面と原点との距離$l_0$を求める。

平面$ax + by + cz + d = 0$と点$(x_0, y_0, z_0)$との距離は

$\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$で求められる。

原点$(0, 0, 0)$と平面$2x + 4y - z - 8 = 0$との距離$l_0$は、

$l_0 = \frac{|2(0) + 4(0) - (0) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{21}} = \frac{8\sqrt{21}}{21}$

(3) 平面と点$(-1, 2, 2)$との距離$l_1$を求める。

点$(-1, 2, 2)$と平面$2x + 4y - z - 8 = 0$との距離$l_1$は、

$l_1 = \frac{|2(-1) + 4(2) - (2) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 + 8 - 2 - 8|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}} = \frac{4\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

平面の方程式: $2x + 4y - z - 8 = 0$

原点との距離 $l_0 = \frac{8\sqrt{21}}{21}$

点$(-1, 2, 2)$との距離 $l_1 = \frac{4\sqrt{21}}{21}$