$\triangle ABC$ において、重心を $G$ とする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$ とする。辺 $AB$ 上に $BP:PA = 2:3$ となる点 $P$ をとる。直線 $PG$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とするとき、$\vec{BQ}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、重心を $G$ とする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$ とする。辺 $AB$ 上に $BP:PA = 2:3$ となる点 $P$ をとる。直線 $PG$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とするとき、$\vec{BQ}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{a}$ を用いて表す。

$\vec{BP} = \frac{2}{5}\vec{BA} = \frac{2}{5}\vec{a}$

$\vec{BC} = \vec{c}$ より、

$\vec{AP} = \frac{3}{5}\vec{AB} = -\frac{3}{5}\vec{a}$

次に、点 $G$ の位置ベクトルを $\vec{a}$, $\vec{c}$ を用いて表す。

点 $G$ は $\triangle ABC$ の重心であるから、

$\vec{BG} = \frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB}) = \frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{0}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{c})$

$\vec{GP} = \vec{BP} - \vec{BG} = \frac{2}{5}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{1}{15}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{c}$

点 $Q$ は直線 $PG$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\vec{BQ} = \vec{BP} + k \vec{PG} = \frac{2}{5}\vec{a} - k (\frac{1}{15}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{c}) = (\frac{2}{5} - \frac{k}{15})\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{c}$

また、点 $Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、実数 $l$ を用いて

$\vec{BQ} = l \vec{BC} = l \vec{c}$

したがって、

$(\frac{2}{5} - \frac{k}{15})\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{c} = l \vec{c}$

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、

$\frac{2}{5} - \frac{k}{15} = 0$ かつ $\frac{k}{3} = l$

$\frac{k}{15} = \frac{2}{5}$ より $k = 6$

$l = \frac{k}{3} = \frac{6}{3} = 2$

よって、

$\vec{BQ} = 2\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{BQ} = 2\vec{c}$