点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(3, -4, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に平行な直線を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線のベクトル方程式は、点 $\vec{p}$ を通り、ベクトル $\vec{a}$ に平行な直線上の点 $\vec{r}$ に対して、

$$\vec{r} = \vec{p} + t\vec{a}$$

と表されます。ここで、$t$ は実数です。

問題文より、$\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$、$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ であるので、直線のベクトル方程式は

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

となります。これを成分ごとに書くと、

$$x = 3 - 2t \\ y = -4 + t \\ z = 2 + 4t$$

となります。 これを $t$ について解くと、

$$t = \frac{3 - x}{2} \\ t = y + 4 \\ t = \frac{z - 2}{4}$$

したがって、

$$\frac{3 - x}{2} = y + 4 = \frac{z - 2}{4}$$

となります。

これを整理して、

$$\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 4}{1} = \frac{z - 2}{4}$$

と表すこともできます。

3. 最終的な答え

求める直線のベクトル方程式は、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

であり、直線の方程式は、

$$\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 4}{1} = \frac{z - 2}{4}$$

です。

どちらの形式で答えても正解です。

ここでは、ベクトル方程式で答えます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$