点$(1, 2, -3)$を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ に直交する平面の方程式を求め、その平面と原点および点$(3, 1, -2)$との距離$l_0$と$l_1$をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

点$(1, 2, -3)$を通り、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ に直交する平面の方程式を求め、その平面と原点および点$(3, 1, -2)$との距離$l_0$と$l_1$をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面の方程式を求める。

平面の方程式は、法線ベクトルが$\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$であり、点$(1, 2, -3)$を通るので、

$-1(x - 1) + 3(y - 2) + 2(z + 3) = 0$

$-x + 1 + 3y - 6 + 2z + 6 = 0$

$-x + 3y + 2z + 1 = 0$

したがって、平面の方程式は

$x - 3y - 2z - 1 = 0$

(2) 平面と原点との距離$l_0$を求める。

平面 $ax + by + cz + d = 0$ と点$(x_0, y_0, z_0)$との距離は、

$\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

で与えられる。原点の座標は$(0, 0, 0)$なので、

$l_0 = \frac{|1(0) - 3(0) - 2(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$

$l_0 = \frac{\sqrt{14}}{14}$

(3) 平面と点$(3, 1, -2)$との距離$l_1$を求める。

$l_1 = \frac{|1(3) - 3(1) - 2(-2) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 - 3 + 4 - 1|}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{|3|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$

$l_1 = \frac{3\sqrt{14}}{14}$

3. 最終的な答え

平面の方程式: $x - 3y - 2z - 1 = 0$

原点との距離$l_0$: $\frac{\sqrt{14}}{14}$

点$(3, 1, -2)$との距離$l_1$: $\frac{3\sqrt{14}}{14}$