三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をCとする。辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。 $|OB| = 4$, $OA \cdot OB = 6$とする。三角形OABの面積を計算する。点Fを$OF = kOB$で定める。$CF \cdot OB$を計算し、$CF \perp OB$となる$k$の値を求める。さらに、三角形BEFの面積が$\frac{3\sqrt{3}}{4}$であるとき、$|OA|$を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をCとする。辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。

$|OB| = 4$, $OA \cdot OB = 6$とする。三角形OABの面積を計算する。点Fを$OF = kOB$で定める。$CF \cdot OB$を計算し、$CF \perp OB$となる$k$の値を求める。さらに、三角形BEFの面積が$\frac{3\sqrt{3}}{4}$であるとき、$|OA|$を求める。

2. 解き方の手順

まず、

$OC = \frac{1}{3}OA$

$OD = \frac{2}{3}OA + \frac{1}{3}OB$

点Eは直線OD上にあるので、実数sを用いて

$OE = sOD = s (\frac{2}{3}OA + \frac{1}{3}OB) = \frac{2s}{3}OA + \frac{s}{3}OB$

点Eは直線BC上にあるので、実数tを用いて

$OE = OB + tBC = OB + t(OC - OB) = OB + t(\frac{1}{3}OA - OB) = \frac{t}{3}OA + (1-t)OB$

よって、係数を比較して

$\frac{2s}{3} = \frac{t}{3}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

$2s = t$を$\frac{s}{3} = 1-t$に代入して

$\frac{s}{3} = 1-2s$

$s = 3-6s$

$7s = 3$

$s = \frac{3}{7}$

$t = \frac{6}{7}$

したがって、$OE = \frac{3}{7}OD$であり、$OE = OB + \frac{6}{7}BC$である。

$s = \frac{3}{7}$, $t = \frac{6}{7}$

三角形OABの面積は、

$\frac{1}{2} \sqrt{|OA|^2 |OB|^2 - (OA \cdot OB)^2}$

であるから、$|OB|=4$, $OA \cdot OB = 6$より、

$\frac{1}{2} \sqrt{|OA|^2 \cdot 4^2 - 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16|OA|^2 - 36} = \sqrt{4|OA|^2 - 9}$

点Fを$OF = kOB$で定めると、

$CF = OF - OC = kOB - \frac{1}{3}OA$

$CF \cdot OB = (kOB - \frac{1}{3}OA) \cdot OB = k|OB|^2 - \frac{1}{3}OA \cdot OB = 16k - \frac{1}{3}(6) = 16k - 2$

$CF \perp OB$のとき、$CF \cdot OB = 0$であるから、$16k - 2 = 0$

$16k = 2$

$k = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$OF = \frac{1}{8}OB$

$BE = OE - OB = \frac{3}{7}OD - OB = \frac{3}{7} (\frac{2}{3}OA + \frac{1}{3}OB) - OB = \frac{2}{7}OA + \frac{1}{7}OB - OB = \frac{2}{7}OA - \frac{6}{7}OB$

$BF = OF - OB = \frac{1}{8}OB - OB = -\frac{7}{8}OB$

三角形BEFの面積は、$\frac{3\sqrt{3}}{4}$より

$\frac{1}{2} |BE| |BF| \sin \theta = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\frac{OA^2}{49}4 + \frac{36}{49}OB^2 - \frac{24}{49}OA\cdot OB$

$\frac{4}{49}|OA|^2 + \frac{36}{49}(16) - \frac{24}{49}(6) = \frac{4}{49}|OA|^2 + \frac{576}{49} - \frac{144}{49} = \frac{4}{49}|OA|^2 + \frac{432}{49}$

3. 最終的な答え

ア:1

イ:3

ウ:2

エ:3

オ:1

カ:3

キ:3

ク:3

ケ:3

コ:7

サ:6

シ:7

ス:4

セ:9

ソタ:16

チ:2

ツ:0

テ:1

ト:8

ナ:3