点(3, 6, -2)を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$に平行な直線を求める。

1. 問題の内容

点(3, 6, -2)を通り、ベクトル$\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$に平行な直線を求める。

2. 解き方の手順

直線上の任意の点を$(x, y, z)$とすると、この点は点(3, 6, -2)からベクトル$\vec{a}$の定数倍だけ移動した点と考えることができる。つまり、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

と表せる。ここで、$t$は実数のパラメータである。

これを成分ごとに書き出すと、以下のようになる。

$x = 3 - 3t$

$y = 6 + 2t$

$z = -2 + 3t$

これらの式から$t$を消去することで、直線の方程式を求めることができる。

まず、$t$について解く。

$t = \frac{3-x}{3}$

$t = \frac{y-6}{2}$

$t = \frac{z+2}{3}$

これらより、

$\frac{3-x}{3} = \frac{y-6}{2} = \frac{z+2}{3}$

これらを整理すると、

$\frac{x-3}{-3} = \frac{y-6}{2} = \frac{z+2}{3}$

3. 最終的な答え

求める直線の方程式は、

$\frac{x-3}{-3} = \frac{y-6}{2} = \frac{z+2}{3}$

または、パラメータ$t$を用いて

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

と表せる。