問題文は、平面上の3点A, B, Cに関する条件が与えられており、点Aと点Bは定点、点CはBC = 6を満たすように動く点である。線分ACの垂直二等分線と線分BCの交点をPとする。このとき、点Pがある楕円E上にあることを示す。 (1) 点Aと点Bの座標がそれぞれ(-2, 0)と(2, 0)のとき、楕円Eの方程式を求める。 (2) 点Aと点Bの座標がそれぞれ(0, -1)と(0, 3)のとき、楕円Eの方程式を表すものを選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

問題文は、平面上の3点A, B, Cに関する条件が与えられており、点Aと点Bは定点、点CはBC = 6を満たすように動く点である。線分ACの垂直二等分線と線分BCの交点をPとする。このとき、点Pがある楕円E上にあることを示す。

(1) 点Aと点Bの座標がそれぞれ(-2, 0)と(2, 0)のとき、楕円Eの方程式を求める。

(2) 点Aと点Bの座標がそれぞれ(0, -1)と(0, 3)のとき、楕円Eの方程式を表すものを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt{a^2 - b^2}$ の値を求める。AとBは楕円の焦点なので、焦点間の距離は4であり、その半分が$\sqrt{a^2 - b^2}$ となる。よって、$\sqrt{a^2 - b^2} = 2$ である。

次に、楕円の長軸の長さ $2a$ の値を求める。問題文より、$AP + BP = 6$ が成り立つ。これは、楕円の定義そのものであり、$AP + BP = 2a$ であるから、$2a = 6$。よって、$a = 3$。

$\sqrt{a^2 - b^2} = 2$ より、$a^2 - b^2 = 4$。$a = 3$ なので、$9 - b^2 = 4$。よって、$b^2 = 5$。

したがって、楕円Eの方程式は $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$。

(2)

点Aの座標が (0, -1)、点Bの座標が (0, 3) のとき、楕円の中心は線分ABの中点であるから、中心の座標は (0, 1) である。したがって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1$ と表せる。

A, Bが焦点であるから、$c = 2$ であり、$b > a$ であることから、$b^2 = a^2 + c^2 = a^2 + 4$。

Pは楕円上の点であり、$AP+BP=6$ なので、$2b=6$, $b=3$ である。

$b^2 = a^2 + 4$ より、$9 = a^2 + 4$, よって、$a^2 = 5$。

したがって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{5} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ であり、変形すると $9x^2 + 5(y^2 - 2y + 1) = 45$, $9x^2 + 5y^2 - 10y + 5 = 45$, $9x^2 + 5y^2 - 10y - 40 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

(1) ス: AC, セ: 2, ソ: 6, タ: 9, チ: 5

(2) ツ: ⑥