平面上に点A, B, Cがあり、AB = 4, BC = 6を満たす。線分ACの垂直二等分線と線分BCの交点をPとする。点Pがどのような曲線上に存在するかを考える。 まず、AP - ス, BP - 6 - スの関係を求める。AP + BP = 6が成り立つことから、Pは2点A, Bを焦点とする楕円上の点である。 (1) Aの座標が(-2, 0), Bの座標が(2, 0)であるとき、楕円Eの方程式を求める。 (2) Aの座標が(0, -1), Bの座標が(0, 3)であるとき、楕円Eの方程式を求める。

1. 問題の内容

平面上に点A, B, Cがあり、AB = 4, BC = 6を満たす。線分ACの垂直二等分線と線分BCの交点をPとする。点Pがどのような曲線上に存在するかを考える。

まず、AP - ス, BP - 6 - スの関係を求める。AP + BP = 6が成り立つことから、Pは2点A, Bを焦点とする楕円上の点である。

(1) Aの座標が(-2, 0), Bの座標が(2, 0)であるとき、楕円Eの方程式を求める。

(2) Aの座標が(0, -1), Bの座標が(0, 3)であるとき、楕円Eの方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、APとBPの関係を求める。

ACの垂直二等分線上にある点Pは、AP = CPを満たす。

BC = 6 より、BP = BC - CP = 6 - CP = 6 - AP が成り立つ。

したがって、AP + BP = AP + (6 - AP) = 6。

これは動点Cの位置に関わらず成り立つ。

したがって、AP = ス なら、BP = 6 - ス である。

解答群から ス = CP を選ぶ。

(1) 焦点A(-2, 0), B(2, 0)より、中心は原点(0, 0)。焦点距離は2c = 4なので、c = 2。

AP + BP = 6 より、長軸の長さ2a = 6なので、a = 3。

楕円の式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ である。

$a^2 = b^2 + c^2$ より、$3^2 = b^2 + 2^2$ なので、$b^2 = 9 - 4 = 5$。

したがって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$。

(2) 焦点A(0, -1), B(0, 3)より、中心は(0, 1)。焦点距離は2c = 4なので、c = 2。

AP + BP = 6 より、長軸の長さ2a = 6なので、a = 3。

$a^2 = b^2 + c^2$ より、$3^2 = b^2 + 2^2$ なので、$b^2 = 9 - 4 = 5$。

中心が(0, 1)であるから、楕円の方程式は $\frac{x^2}{5} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ 。

これを整理すると、$9x^2 + 5(y^2 - 2y + 1) = 45$

$9x^2 + 5y^2 - 10y + 5 = 45$

$9x^2 + 5y^2 - 10y - 40 = 0$

3. 最終的な答え

ス: ① (CP)

(1) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$

(2) ⑤ $9x^2 + 5y^2 - 10y - 40 = 0$