問題は3つのパートに分かれています。 (1) 2点 $A(-1, -1)$ と $B(4, 4)$ を通り、中心が直線 $y = 2x - 9$ 上にある円の方程式を求める。 (2) 点 $(5, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 13$ に接する直線のうち、傾きが正である直線の方程式を求める。 (3) 円 $(x - a)^2 + y^2 = a$ ($a > 0$) と直線 $x - 2y = 0$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) 2点 $A(-1, -1)$ と $B(4, 4)$ を通り、中心が直線 $y = 2x - 9$ 上にある円の方程式を求める。

(2) 点 $(5, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 13$ に接する直線のうち、傾きが正である直線の方程式を求める。

(3) 円 $(x - a)^2 + y^2 = a$ ($a > 0$) と直線 $x - 2y = 0$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心を $(p, 2p - 9)$ とおく。

$A(-1, -1)$ と $B(4, 4)$ からの距離が等しいので、

$\sqrt{(p + 1)^2 + (2p - 9 + 1)^2} = \sqrt{(p - 4)^2 + (2p - 9 - 4)^2}$

$(p + 1)^2 + (2p - 8)^2 = (p - 4)^2 + (2p - 13)^2$

$p^2 + 2p + 1 + 4p^2 - 32p + 64 = p^2 - 8p + 16 + 4p^2 - 52p + 169$

$-30p + 65 = -60p + 185$

$30p = 120$

$p = 4$

円の中心は $(4, 2(4) - 9) = (4, -1)$。

半径は $\sqrt{(4 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{5^2} = 5$。

円の方程式は $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 25$。

(2)

求める直線の傾きを $m$ とすると、$y - 1 = m(x - 5)$、すなわち $mx - y - 5m + 1 = 0$。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 13$ に接するので、円の中心 $(0, 0)$ から直線までの距離は半径 $\sqrt{13}$ に等しい。

$\frac{|m(0) - (0) - 5m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{13}$

$\frac{|-5m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$

$(-5m + 1)^2 = 13(m^2 + 1)$

$25m^2 - 10m + 1 = 13m^2 + 13$

$12m^2 - 10m - 12 = 0$

$6m^2 - 5m - 6 = 0$

$(2m - 3)(3m + 2) = 0$

$m = \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}$

傾きが正であるから、$m = \frac{3}{2}$。

直線の方程式は $y - 1 = \frac{3}{2}(x - 5)$。

$2y - 2 = 3x - 15$

$3x - 2y - 13 = 0$

(3)

円 $(x - a)^2 + y^2 = a$ と直線 $x - 2y = 0$、すなわち $x = 2y$ が異なる2点で交わる条件を求める。

$x = 2y$ を円の式に代入すると、

$(2y - a)^2 + y^2 = a$

$4y^2 - 4ay + a^2 + y^2 = a$

$5y^2 - 4ay + a^2 - a = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-4a)^2 - 4(5)(a^2 - a) = 16a^2 - 20a^2 + 20a = -4a^2 + 20a$

$-4a^2 + 20a > 0$

$-4a(a - 5) > 0$

$a(a - 5) < 0$

$0 < a < 5$

ただし、$a > 0$ より、$0 < a < 5$。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 25$

(2) $3x - 2y - 13 = 0$

(3) $0 < a < 5$