底面の半径が $r$、高さが $h$ の円錐がある。 (1) この円錐の体積 $V$ を $r$ と $h$ を用いて表す。ただし、円周率は $\pi$ とする。 (2) この円錐の底面の半径を2倍、高さを $\frac{1}{2}$ にした円錐の体積を $V'$ とする。$V'$ は $V$ の何倍になるか。

1. 問題の内容

底面の半径が $r$、高さが $h$ の円錐がある。

(1) この円錐の体積 $V$ を $r$ と $h$ を用いて表す。ただし、円周率は $\pi$ とする。

(2) この円錐の底面の半径を2倍、高さを $\frac{1}{2}$ にした円錐の体積を $V'$ とする。$V'$ は $V$ の何倍になるか。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の体積の公式は、$V = \frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$ である。底面積は $\pi r^2$ なので、体積 $V$ は

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

となる。

(2) 新しい円錐の底面の半径は $2r$、高さは $\frac{1}{2}h$ である。したがって、新しい円錐の体積 $V'$ は

$V' = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 \left(\frac{1}{2}h\right) = \frac{1}{3} \pi (4r^2) \left(\frac{1}{2}h\right) = \frac{1}{3} \pi 2r^2 h = 2 \left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right) = 2V$

となる。したがって、$V'$ は $V$ の2倍である。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

(2) 2 倍