点A(1, 2, 3) と点B(2, 1, 0) が与えられ、三角形OABを含む平面を$\alpha$とする。 (1) 点P(x, -1, 1)が平面$\alpha$上にあるとき、$x$の値を求める。 (2) 点H(-1, y, z)がOH $\perp$ $\alpha$を満たすとき、$y$と$z$の値を求める。

1. 問題の内容

点A(1, 2, 3) と点B(2, 1, 0) が与えられ、三角形OABを含む平面を$\alpha$とする。

(1) 点P(x, -1, 1)が平面$\alpha$上にあるとき、$x$の値を求める。

(2) 点H(-1, y, z)がOH $\perp$ $\alpha$を満たすとき、$y$と$z$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが平面$\alpha$上にあるので、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$と表すことができる。

$\vec{OP} = (x, -1, 1)$, $\vec{OA} = (1, 2, 3)$, $\vec{OB} = (2, 1, 0)$より、

$\begin{pmatrix} x \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、

$x = s + 2t$ ...(1)

$-1 = 2s + t$ ...(2)

$1 = 3s$ ...(3)

(3)より、$s = \frac{1}{3}$。

これを(2)に代入すると、

$-1 = 2(\frac{1}{3}) + t$

$-1 = \frac{2}{3} + t$

$t = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$

(1)に$s$と$t$の値を代入すると、

$x = \frac{1}{3} + 2(-\frac{5}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{9}{3} = -3$

(2)

OHが平面$\alpha$と垂直なので、OHは$\vec{OA}$と$\vec{OB}$の両方と垂直である。

$\vec{OH} = (-1, y, z)$

$\vec{OA} \cdot \vec{OH} = 0$ より、

$(1, 2, 3) \cdot (-1, y, z) = 0$

$-1 + 2y + 3z = 0$ ...(4)

$\vec{OB} \cdot \vec{OH} = 0$ より、

$(2, 1, 0) \cdot (-1, y, z) = 0$

$-2 + y = 0$

$y = 2$

(4)に$y = 2$を代入すると、

$-1 + 2(2) + 3z = 0$

$-1 + 4 + 3z = 0$

$3 + 3z = 0$

$3z = -3$

$z = -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = -3$

(2) $y = 2$, $z = -1$