長方形の土地の周りに幅2mの道が付いている。道の真ん中を通る線の長さが$l$ mで、道の面積が$S$ m$^2$であるとき、$S$を$l$の式で表す。

1. 問題の内容

長方形の土地の周りに幅2mの道が付いている。道の真ん中を通る線の長さが$l$ mで、道の面積が$S$ m$^2$であるとき、$S$を$l$の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、土地の長さを$x$ m、幅を$y$ mとする。

道の真ん中を通る線の長さ$l$は、長方形の周囲の長さより計算できる。 道の真ん中を通る長方形の長さは、元の長方形の長さより2m長いため、$x+2$ m、幅も同様に$y+2$ mとなる。

したがって、$l$は次のように表せる。

$l = 2(x+2) + 2(y+2) = 2x + 4 + 2y + 4 = 2x + 2y + 8$

次に道の面積$S$を計算する。道の面積は、外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引いたものである。

外側の長方形の長さは$x+4$ m、幅は$y+4$ mである。

したがって、$S$は次のように表せる。

$S = (x+4)(y+4) - xy = xy + 4x + 4y + 16 - xy = 4x + 4y + 16$

ここで、$l = 2x + 2y + 8$を変形すると、次のようになる。

$2x + 2y = l - 8$

$x + y = \frac{l}{2} - 4$

したがって、$S = 4x + 4y + 16$は、次のように変形できる。

$S = 4(x+y) + 16 = 4(\frac{l}{2} - 4) + 16 = 2l - 16 + 16 = 2l$

3. 最終的な答え

$S = 2l$