円 $C_1: x^2 + y^2 + 6x + 2y - 6 = 0$ と、中心が $(2, 1)$、半径が $3$ である円 $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求める。さらに、この2つの交点と点 $(3, 1)$ を通る円 $C_3$ の中心の座標と半径を求める。

1. 問題の内容

円 $C_1: x^2 + y^2 + 6x + 2y - 6 = 0$ と、中心が $(2, 1)$、半径が $3$ である円 $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求める。さらに、この2つの交点と点 $(3, 1)$ を通る円 $C_3$ の中心の座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、円 $C_2$ の方程式を求める。中心が $(2, 1)$、半径が $3$ なので、

$C_2: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

$C_2: x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 9$

$C_2: x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$

次に、2つの円の交点を通る直線の方程式は、$C_1 - C_2 = 0$ で求められる。

$(x^2 + y^2 + 6x + 2y - 6) - (x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4) = 0$

$10x + 4y - 2 = 0$

$5x + 2y - 1 = 0$

よって、2つの円の交点を通る直線の方程式は $5x + 2y - 1 = 0$ である。

次に、円 $C_3$ の方程式を求める。円 $C_1$ と $C_2$ の交点を通る円 $C_3$ の方程式は、

$x^2 + y^2 + 6x + 2y - 6 + k(5x + 2y - 1) = 0$ と表せる。

この円が点 $(3, 1)$ を通るので、代入して $k$ の値を求める。

$3^2 + 1^2 + 6(3) + 2(1) - 6 + k(5(3) + 2(1) - 1) = 0$

$9 + 1 + 18 + 2 - 6 + k(15 + 2 - 1) = 0$

$24 + 16k = 0$

$k = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2}$

したがって、円 $C_3$ の方程式は、

$x^2 + y^2 + 6x + 2y - 6 - \frac{3}{2}(5x + 2y - 1) = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 12x + 4y - 12 - 15x - 6y + 3 = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 3x - 2y - 9 = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x - y - \frac{9}{2} = 0$

$(x - \frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{2} = 0$

$(x - \frac{3}{4})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{16} + \frac{1}{4} + \frac{72}{16}$

$(x - \frac{3}{4})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{9 + 4 + 72}{16} = \frac{85}{16}$

円 $C_3$ の中心は $(\frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ で、半径は $\sqrt{\frac{85}{16}} = \frac{\sqrt{85}}{4}$ である。

3. 最終的な答え

2つの円の交点を通る直線の方程式は $5x + 2y - 1 = 0$ である。

円 $C_3$ の中心の座標は $(\frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ で、半径は $\frac{\sqrt{85}}{4}$ である。