空間内の4点O, A, B, Cに対して、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とします。これらのベクトルの内積が $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{3}$を満たすとき、次の問いに答えます。 (1) 点Cを通り三角形OABを含む平面に垂直な直線がこの平面と交わる点をDとするとき、ベクトル$\overrightarrow{CD}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。 (2) 三角形OABの面積Sを求めてください。 (3) 四面体OABCの体積Vを求めてください。

1. 問題の内容

空間内の4点O, A, B, Cに対して、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とします。これらのベクトルの内積が $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{3}$を満たすとき、次の問いに答えます。

(1) 点Cを通り三角形OABを含む平面に垂直な直線がこの平面と交わる点をDとするとき、ベクトル$\overrightarrow{CD}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。

(2) 三角形OABの面積Sを求めてください。

(3) 四面体OABCの体積Vを求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OD} = s\vec{a} + t\vec{b}$とおきます。$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}$.

条件より、$\overrightarrow{CD}$は平面OABに垂直なので、$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{a} = 0$かつ$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{b} = 0$.

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{a} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{a}) = s + 0 - \frac{1}{3} = 0$. よって、$s = \frac{1}{3}$.

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{b} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - (\vec{c} \cdot \vec{b}) = 0 + t - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$. よって、$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} - \vec{c}$.

(2) $S = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$, ただし$\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角。$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta} = 0$. $\cos{\theta} = 0$. ゆえに$\theta = \frac{\pi}{2}$. $\sin{\theta} = 1$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

(3) $V = \frac{1}{3}S \cdot h$. ここで$h$はCから平面OABへの距離。つまり、$h = |\overrightarrow{CD}| = |\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} - \vec{c}|$.

$|\overrightarrow{CD}|^2 = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{9}|\vec{a}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \frac{2}{3\sqrt{2}}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{2}{3}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \frac{2}{\sqrt{2}}(\vec{b}\cdot\vec{c}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{2} + 1 + 0 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{9} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9-2}{18} = \frac{7}{18}$.

$h = \sqrt{\frac{7}{18}} = \frac{\sqrt{14}}{6}$.

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{6} = \frac{\sqrt{14}}{36}$.

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} - \vec{c}$

(2) $S = \frac{1}{2}$

(3) $V = \frac{\sqrt{14}}{36}$