$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて $\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$ と表せる。

$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{b}$ なので、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b}$ となる。

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて $\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$ と表せる。

$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \frac{3}{5}\vec{OA} = \frac{3}{5}\vec{a}$ なので、

$\vec{OP} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ となる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{5}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

が成り立つ。

これを解く。

$s = 3(1-t)$ を $1-s = \frac{3t}{5}$ に代入すると、

$1 - 3(1-t) = \frac{3t}{5}$

$1 - 3 + 3t = \frac{3t}{5}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{5}$

$15t - 3t = 10$

$12t = 10$

$t = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

これを $\vec{OP} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ に代入すると、

$\vec{OP} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}\vec{a} + (1-\frac{5}{6})\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$