$\triangle ABC$において、辺$AB$を$1:2$に内分する点を$D$、辺$BC$を$3:1$に内分する点を$E$とし、線分$CD$の中点を$F$とする。このとき、$3$点$A, F, E$は一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、辺$AB$を$1:2$に内分する点を$D$、辺$BC$を$3:1$に内分する点を$E$とし、線分$CD$の中点を$F$とする。このとき、$3$点$A, F, E$は一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ とおく。ただし、$O$は平面上の任意の点である。

点$D$は辺$AB$を$1:2$に内分するので、

$$\overrightarrow{OD} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$$

点$E$は辺$BC$を$3:1$に内分するので、

$$\overrightarrow{OE} = \frac{1\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{3+1} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{4}$$

点$F$は線分$CD$の中点なので、

$$\overrightarrow{OF} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} = \frac{\vec{c} + \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}}{2} = \frac{3\vec{c} + 2\vec{a} + \vec{b}}{6} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6}$$

$A, F, E$が一直線上にあることを示すためには、実数$k$を用いて、$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AF}$と表せることを示す必要がある。

まず、$\overrightarrow{AF}$を求める。

$$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6} - \vec{a} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c} - 6\vec{a}}{6} = \frac{-4\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6}$$

次に、$\overrightarrow{AE}$を求める。

$$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OA} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{4} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c} - 4\vec{a}}{4} = \frac{-4\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{4}$$

したがって、

$$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AF}$$

よって、$3$点$A, F, E$は一直線上にある。

3. 最終的な答え

$3$点$A, F, E$は一直線上にある。