円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=5, CD=7, DA=5であるとき、以下の値を求めよ。 (1) ACの長さ (2) cos∠ABCの値 (3) 四角形ABCDの面積

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=5, CD=7, DA=5であるとき、以下の値を求めよ。

(1) ACの長さ

(2) cos∠ABCの値

(3) 四角形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

まず、三角形ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cos∠ABC$

同様に、三角形ADCにおいて、余弦定理を用いる。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)cos∠ADC$

円に内接する四角形なので、$∠ABC + ∠ADC = 180°$

よって、$∠ADC = 180° - ∠ABC$

$cos∠ADC = cos(180° - ∠ABC) = -cos∠ABC$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)cos∠ABC = 9 + 25 - 30cos∠ABC = 34 - 30cos∠ABC$

$AC^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)cos∠ADC = 25 + 49 - 70(-cos∠ABC) = 74 + 70cos∠ABC$

これらから、$34 - 30cos∠ABC = 74 + 70cos∠ABC$

$100cos∠ABC = -40$

$cos∠ABC = -\frac{40}{100} = -\frac{2}{5}$

$AC^2 = 34 - 30(-\frac{2}{5}) = 34 + 12 = 46$

$AC = \sqrt{46}$

(2) cos∠ABCの値を求める。

(1)より、$cos∠ABC = -\frac{2}{5}$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積Sは、三角形ABCの面積と三角形ADCの面積の和で表される。

$S = \frac{1}{2}(AB)(BC)sin∠ABC + \frac{1}{2}(AD)(CD)sin∠ADC$

$sin^2∠ABC + cos^2∠ABC = 1$より、$sin^2∠ABC = 1 - cos^2∠ABC = 1 - (-\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$sin∠ABC = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$sin∠ADC = sin(180° - ∠ABC) = sin∠ABC = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$S = \frac{1}{2}(3)(5)\frac{\sqrt{21}}{5} + \frac{1}{2}(5)(7)\frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{3\sqrt{21}}{2} + \frac{7\sqrt{21}}{2} = \frac{10\sqrt{21}}{2} = 5\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) AC = $\sqrt{46}$

(2) cos∠ABC = $-\frac{2}{5}$

(3) 四角形の面積S = $5\sqrt{21}$