長方形ABCDを、辺DCを軸として1回転させてできる立体Pと、辺BCを軸として1回転させてできる立体Qについて、以下の問題を解く。ただし、円周率は $\pi$ とする。 (1) 立体PとQの側面積の比を求めよ。 (2) 立体PとQの体積の比を求めよ。 (3) $a=4, b=2$ のとき、立体PとQの体積を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDを、辺DCを軸として1回転させてできる立体Pと、辺BCを軸として1回転させてできる立体Qについて、以下の問題を解く。ただし、円周率は $\pi$ とする。

(1) 立体PとQの側面積の比を求めよ。

(2) 立体PとQの体積の比を求めよ。

(3) $a=4, b=2$ のとき、立体PとQの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

立体Pは半径a,高さbの円柱である。その側面積は、$2\pi a b$ 。

立体Qは半径b,高さaの円柱である。その側面積は、$2\pi b a = 2\pi a b$。

したがって、立体PとQの側面積の比は、

$2\pi a b : 2\pi a b = 1:1$

(2)

立体Pは半径a,高さbの円柱なので、その体積は、

$V_P = \pi a^2 b$

立体Qは半径b,高さaの円柱なので、その体積は、

$V_Q = \pi b^2 a$

したがって、立体PとQの体積の比は、

$\pi a^2 b : \pi b^2 a = a:b$

(3)

$a=4, b=2$ のとき、立体Pの体積は、

$V_P = \pi a^2 b = \pi (4^2) (2) = 32 \pi$

立体Qの体積は、

$V_Q = \pi b^2 a = \pi (2^2) (4) = 16 \pi$

3. 最終的な答え

(1) 1:1

(2) a:b

(3) 立体Pの体積: $32\pi$, 立体Qの体積: $16\pi$