三角比に関する問題です。 (1) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ のときの $\theta$ の値を、選択肢から選びます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ です。 (2) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (3) $\tan \theta = -\frac{1}{3}$ のときの $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

三角比に関する問題です。

(1) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ のときの $\theta$ の値を、選択肢から選びます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ です。

(2) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{3}$ のときの $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探します。$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 60^\circ$ です。

(2)

$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\sin \theta > 0$ なので $\theta$ は第一象限または第二象限の角です。

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3)

$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{1}{3}$ より、$\sin \theta = -\frac{1}{3} \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入して、

$\left(-\frac{1}{3} \cos \theta\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{10}{9} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\tan \theta < 0$ なので、$\theta$ は第二象限または第四象限の角です。$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\theta$ は第二象限の角であり、$\sin \theta > 0, \cos \theta < 0$ です。

したがって、$\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\sin \theta = -\frac{1}{3} \cos \theta = -\frac{1}{3} \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$, $\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

具体的な数値を埋めると以下のようになります。

(1) 3

(2) $\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = \mp \frac{2\sqrt{5}}{5}$ (複号同順)

(3) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$, $\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

最終的な答え：

(1) 3

(2) cosθ=-(√5)/3 , tanθ=-(2√5)/5

(3) sinθ=√10/10, cosθ=-(3√10)/10