2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、以下の量を計算し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めます。 - $\vec{a} \cdot \vec{b}$ （内積） - $|\vec{a}|$ （$\vec{a}$ の大きさ） - $|\vec{b}|$ （$\vec{b}$ の大きさ） - $\cos \theta$ （$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の余弦） - 平行四辺形の面積 $S$

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、以下の量を計算し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めます。

- $\vec{a} \cdot \vec{b}$ （内積）

- $|\vec{a}|$ （$\vec{a}$ の大きさ）

- $|\vec{b}|$ （$\vec{b}$ の大きさ）

- $\cos \theta$ （$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の余弦）

- 平行四辺形の面積 $S$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で計算します。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の計算:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ のとき、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

(2) $|\vec{a}|$ の計算:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

(3) $|\vec{b}|$ の計算:

$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

(4) $\cos \theta$ の計算:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

(5) 平行四辺形の面積 $S$ の計算:

$S = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a} \times \vec{b}|$

または $S = \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

以下に、各問題の解答を示します。

(1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (-1)(2) + (0)(0) = 6 - 2 = 4$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

$S = \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \sqrt{(5)(13) - (4)^2} = \sqrt{65 - 16} = \sqrt{49} = 7$

(2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(3) + (4)(1) + (0)(0) = -6 + 4 = -2$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{20} \sqrt{10}} = \frac{-2}{\sqrt{200}} = \frac{-2}{10\sqrt{2}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$

$S = \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \sqrt{(20)(10) - (-2)^2} = \sqrt{200 - 4} = \sqrt{196} = 14$

(3) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(2) + (1)(-4) + (4)(3) = -6 - 4 + 12 = 2$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{26} \sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{754}}$

$S = \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \sqrt{(26)(29) - (2)^2} = \sqrt{754 - 4} = \sqrt{750} = 5\sqrt{30}$

(4) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3\sqrt{2} \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(2\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})(1) + (4)(0) = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 18 + 16} = \sqrt{35}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{35} \cdot 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{35}}$

$S = \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \sqrt{(35)(9) - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{315 - 2} = \sqrt{313}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$, $|\vec{a}| = \sqrt{5}$, $|\vec{b}| = \sqrt{13}$, $\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{65}}$, $S = 7$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, $|\vec{a}| = 2\sqrt{5}$, $|\vec{b}| = \sqrt{10}$, $\cos \theta = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$, $S = 14$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$, $|\vec{a}| = \sqrt{26}$, $|\vec{b}| = \sqrt{29}$, $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{754}}$, $S = 5\sqrt{30}$

(4) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$, $|\vec{a}| = \sqrt{35}$, $|\vec{b}| = 3$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{35}}$, $S = \sqrt{313}$