三角形ABCの頂点の位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられています。辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をP, Q, Rとします。三角形ABCの重心をG、三角形PQRの重心をG'とします。 (1) 点G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。 (2) 等式$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$が成り立つことを示してください。

1. 問題の内容

三角形ABCの頂点の位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられています。辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をP, Q, Rとします。三角形ABCの重心をG、三角形PQRの重心をG'とします。

(1) 点G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。

(2) 等式$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$が成り立つことを示してください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点P, Q, Rの位置ベクトル$\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$を求めます。

Pは辺BCを2:1に内分するので、

$\vec{p} = \frac{1\vec{b} + 2\vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

Qは辺CAを2:1に内分するので、

$\vec{q} = \frac{1\vec{c} + 2\vec{a}}{2+1} = \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3}$

Rは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{r} = \frac{1\vec{a} + 2\vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

次に、三角形PQRの重心G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を求めます。重心は各頂点の位置ベクトルの平均なので、

$\vec{g'} = \frac{\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} + \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3} + \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} \right)$

$\vec{g'} = \frac{1}{9} ( \vec{b} + 2\vec{c} + \vec{c} + 2\vec{a} + \vec{a} + 2\vec{b})$

$\vec{g'} = \frac{1}{9} (3\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c})$

$\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2)

三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

$\vec{GA} = \vec{a} - \vec{g} = \vec{a} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{3}$

$\vec{GB} = \vec{b} - \vec{g} = \vec{b} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}}{3}$

$\vec{GC} = \vec{c} - \vec{g} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{3}$

よって、

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \frac{2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{3} + \frac{2\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}}{3} + \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{3}$

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \frac{(2\vec{a} - \vec{a} - \vec{a}) + (2\vec{b} - \vec{b} - \vec{b}) + (2\vec{c} - \vec{c} - \vec{c})}{3}$

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \frac{\vec{0}}{3} = \vec{0}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$