三角形ABCに関する以下の3つの問題に答える。 (1) $b = 3\sqrt{2}$, $A = 60^\circ$, $C = 75^\circ$ のとき、$a$ と外接円の半径 $R$ を求める。 (2) $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$ のとき、$\triangle ABC$ の面積と内接円の半径 $r$ を求める。 (3) $\frac{\sin A}{7} = \frac{\sin B}{6} = \frac{\sin C}{5}$ が成り立つとき、三角形ABCの種類を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCに関する以下の3つの問題に答える。

(1) $b = 3\sqrt{2}$, $A = 60^\circ$, $C = 75^\circ$ のとき、$a$ と外接円の半径 $R$ を求める。

(2) $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$ のとき、$\triangle ABC$ の面積と内接円の半径 $r$ を求める。

(3) $\frac{\sin A}{7} = \frac{\sin B}{6} = \frac{\sin C}{5}$ が成り立つとき、三角形ABCの種類を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを利用して、$B$ の角度を求める。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

次に、正弦定理を用いて $a$ を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{3\sqrt{2} \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{3}$

外接円の半径 $R$ は、正弦定理より

$2R = \frac{a}{\sin A}$

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 3$

(2)

ヘロンの公式を利用して $\triangle ABC$ の面積を求める。

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2}$

$\triangle ABC = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot (\frac{15}{2}-4) \cdot (\frac{15}{2}-5) \cdot (\frac{15}{2}-6)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

内接円の半径 $r$ は、$\triangle ABC = rs$ より

$r = \frac{\triangle ABC}{s} = \frac{\frac{15\sqrt{7}}{4}}{\frac{15}{2}} = \frac{15\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(3)

$\frac{\sin A}{7} = \frac{\sin B}{6} = \frac{\sin C}{5}$ より、正弦定理から $a:b:c = 7:6:5$ となる。

$a = 7k, b = 6k, c = 5k$ とおける。

余弦定理を用いて、最大の角である $A$ の余弦を求める。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(6k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2(6k)(5k)} = \frac{36k^2 + 25k^2 - 49k^2}{60k^2} = \frac{12k^2}{60k^2} = \frac{1}{5} > 0$

$\cos A > 0$ であるから、$A < 90^\circ$。

したがって、三角形ABCは鋭角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3\sqrt{3}$, $R = 3$

(2) $\triangle ABC = \frac{15\sqrt{7}}{4}$, $r = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(3) 鋭角