(1) 正八角形 ABCDEFGH の8つの頂点から、異なる3点を無作為に選び、それらを頂点とする三角形Tを作るとき、Tが直角三角形である確率を求めよ。 (2) 正八角形 ABCDEFGH の8つの頂点から、異なる4点を無作為に選び、それらを頂点とする四角形Sを作るとき、Sが長方形である確率を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 正八角形 ABCDEFGH の8つの頂点から、異なる3点を無作為に選び、それらを頂点とする三角形Tを作るとき、Tが直角三角形である確率を求めよ。

(2) 正八角形 ABCDEFGH の8つの頂点から、異なる4点を無作為に選び、それらを頂点とする四角形Sを作るとき、Sが長方形である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

正八角形に内接する直角三角形を考える。直角三角形の斜辺は正八角形の外接円の直径となる。正八角形では、対角線が直径になるものが4組存在する。直径となる2点を選んだとき、残りの1点は直径上の2点以外の6点から選ぶことができる。したがって、直角三角形の総数は $4 \times 6 = 24$ 個である。

正八角形から3点を選ぶ総数は、$_{8}C_{3}$で計算できる。

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

したがって、求める確率は $\frac{24}{56} = \frac{3}{7}$

(2)

正八角形から4点を選び、長方形となる場合を考える。正八角形の外接円の直径となる対角線は4組ある。長方形を作るには、これらの対角線のうち2組を選ぶ必要がある。したがって、長方形となる選び方は、$_{4}C_{2}$で計算できる。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

正八角形から4点を選ぶ総数は、$_{8}C_{4}$で計算できる。

$_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

したがって、求める確率は $\frac{6}{70} = \frac{3}{35}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{7}$

(2) $\frac{3}{35}$