実数 $a$ をパラメータとする2つの円 $D_1: x^2 + y^2 - 6ax + 2ay + 20a - 10 = 0$ と $D_2: x^2 + y^2 = 25$ が与えられている。以下の問いに答えよ。 (1) 円 $D_1$ は $a$ の値に関わらず通る定点を求めよ。 (2) 円 $D_1$ の中心を $P(s, t)$ とするとき、$s$ と $t$ の値を求め、$s, t$ が満たす関係式を求めよ。 (3) 円 $D_1$ の半径を求め、$D_1$ と $D_2$ が接するときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ をパラメータとする2つの円 $D_1: x^2 + y^2 - 6ax + 2ay + 20a - 10 = 0$ と $D_2: x^2 + y^2 = 25$ が与えられている。以下の問いに答えよ。

(1) 円 $D_1$ は $a$ の値に関わらず通る定点を求めよ。

(2) 円 $D_1$ の中心を $P(s, t)$ とするとき、$s$ と $t$ の値を求め、$s, t$ が満たす関係式を求めよ。

(3) 円 $D_1$ の半径を求め、$D_1$ と $D_2$ が接するときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $D_1$ の方程式を $a$ について整理すると、

$x^2 + y^2 - 10 + a(-6x + 2y + 20) = 0$

となる。$a$ の値に関わらずこの方程式が成り立つためには、

$x^2 + y^2 - 10 = 0$ かつ $-6x + 2y + 20 = 0$

が成り立てばよい。

$-6x + 2y + 20 = 0$ より、$y = 3x - 10$。これを $x^2 + y^2 - 10 = 0$ に代入すると、

$x^2 + (3x - 10)^2 - 10 = 0$

$x^2 + 9x^2 - 60x + 100 - 10 = 0$

$10x^2 - 60x + 90 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

よって、$x = 3$。このとき、$y = 3(3) - 10 = -1$。

したがって、円 $D_1$ は $a$ の値に関わらず定点 $(3, -1)$ を通る。

(2) 円 $D_1$ の方程式を平方完成すると、

$(x - 3a)^2 + (y + a)^2 = 9a^2 + a^2 - 20a + 10$

$(x - 3a)^2 + (y + a)^2 = 10a^2 - 20a + 10$

よって、円 $D_1$ の中心は $P(3a, -a)$ であるから、$s = 3a, t = -a$。

$a = -t$ なので、$s = 3(-t)$。したがって、$s = -3t$。

(3) 円 $D_1$ の半径は $\sqrt{10a^2 - 20a + 10}$ である。

$10a^2 - 20a + 10 = 10(a^2 - 2a + 1) = 10(a - 1)^2$

よって、半径は $\sqrt{10(a-1)^2} = \sqrt{10}|a-1|$。

円 $D_1$ と $D_2$ が接するとき、2つの円の中心間の距離は、半径の和または差に等しい。

$D_2$ の中心は $(0, 0)$、半径は $5$。$D_1$ の中心は $(3a, -a)$、半径は $\sqrt{10}(|a-1|)$。

中心間の距離は $\sqrt{(3a - 0)^2 + (-a - 0)^2} = \sqrt{9a^2 + a^2} = \sqrt{10a^2} = \sqrt{10}|a|$。

接する条件は $\sqrt{10}|a| = 5 \pm \sqrt{10}|a - 1|$。

$\sqrt{10}|a| - \sqrt{10}|a - 1| = 5$ または $\sqrt{10}|a| + \sqrt{10}|a - 1| = 5$

$|a| - |a - 1| = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ または $|a| + |a - 1| = \frac{\sqrt{10}}{2}$

(i) $a < 0$ のとき、$-a - (1 - a) = \frac{\sqrt{10}}{2}$ または $-a + (1 - a) = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$-1 = \frac{\sqrt{10}}{2}$ (不適) または $1 - 2a = \frac{\sqrt{10}}{2}$ より、$2a = 1 - \frac{\sqrt{10}}{2}$、$a = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{10}}{4}$。

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$a - (1 - a) = \frac{\sqrt{10}}{2}$ または $a + (1 - a) = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$2a - 1 = \frac{\sqrt{10}}{2}$ より、$2a = 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}$、$a = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{4}$。$1 = \frac{\sqrt{10}}{2}$ (不適)

(iii) $a > 1$ のとき、$a - (a - 1) = \frac{\sqrt{10}}{2}$ または $a + (a - 1) = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$1 = \frac{\sqrt{10}}{2}$ (不適) または $2a - 1 = \frac{\sqrt{10}}{2}$ より、$2a = 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}$、$a = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{4}$。

ただし、$|a| + |a-1| = \frac{\sqrt{10}}{2}$ は $a = \frac{1}{2}$ で最小値 $1 < \frac{\sqrt{10}}{2}$ なので、この範囲で解を持つ。

$a=\frac{1}{2}$のとき, $a > 1$を満たさないので, $|a| + |a - 1| = \frac{\sqrt{10}}{2}$を満たす$a$はない。

$a = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{10}}{4}, a = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 定点：$(3, -1)$

(2) $s = 3a, t = -a$ なので $s = 3a = -3t$。よって、$s = -3t$。

(3) 半径：$\sqrt{10}|a-1|$。$a = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$