複素数平面上で、複素数 $z$ が条件 $|z-1| + |z+1| = 4$ を満たすとき、$z$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上で、複素数 $z$ が条件 $|z-1| + |z+1| = 4$ を満たすとき、$z$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

$z = x + yi$ とおく（$x, y$ は実数）。

$|z-1| = |(x-1) + yi| = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

$|z+1| = |(x+1) + yi| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

与えられた条件式に代入すると、

$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 4$

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 4 - \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x+1)^2 + y^2 = 16 - 8\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + (x-1)^2 + y^2$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 16 - 8\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + x^2 - 2x + 1 + y^2$

$4x - 16 = -8\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

$16 - 4x = 8\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

$4 - x = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(4 - x)^2 = 4((x-1)^2 + y^2)$

$16 - 8x + x^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$16 - 8x + x^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$12 = 3x^2 + 4y^2$

$1 = \frac{3x^2}{12} + \frac{4y^2}{12}$

$1 = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3}$

これは楕円の方程式である。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ を満たす楕円。