2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$があり、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$、$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$であるとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。

1. 問題の内容

2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$があり、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$であるとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。

2. 解き方の手順

内積の定義式を利用する。内積の定義式は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

である。この式に問題文で与えられた値を代入すると、

$\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\theta$

$\sqrt{2} = 2\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$の範囲で、$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$を満たす$\theta$を求めると、

$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$