問題は大きく分けて3つのセクションに分かれています。 * **セクション1:** 与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。 * **セクション2:** 与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 * **セクション3:** 与えられた円と直線の位置関係を調べる問題です。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて3つのセクションに分かれています。

* **セクション1:** 与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。

* **セクション2:** 与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

* **セクション3:** 与えられた円と直線の位置関係を調べる問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 + 4x = 0$ の場合

円の方程式の一般形は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ です。与えられた式をこの形に変形します。

$x^2 + 4x + y^2 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = 4$

$(x + 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

したがって、中心は $(-2, 0)$、半径は $2$ です。

(2) $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ の場合

同様に、与えられた式を変形します。

$x^2 - 4x + y^2 + 2y = -4$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = -4 + 4 + 1$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1^2$

したがって、中心は $(2, -1)$、半径は $1$ です。

(3) 中心 $(-2, 3)$, 半径 $4$ の場合

円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ であり、中心 $(a, b)$、半径 $r$ が与えられています。

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(4) 中心 $(-3, 2)$, 点 $(1, -1)$ を通る場合

円の方程式は $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ の形になります。 点 $(1, -1)$ を通るので、この座標を代入して $r^2$ を求めます。

$(1 + 3)^2 + (-1 - 2)^2 = r^2$

$4^2 + (-3)^2 = r^2$

$16 + 9 = r^2$

$r^2 = 25$

したがって、円の方程式は $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$ です。

(5) 中心 $(-1, -2)$, $x$ 軸に接する場合

中心から $x$ 軸までの距離が半径になります。中心の $y$ 座標の絶対値が半径に等しいので、$r = |-2| = 2$ です。

したがって、円の方程式は $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ です。

(6) $(2, 5), (0, -1)$ を直径の両端に持つ場合

中心は2点の座標の中点なので、中心の座標は $\left(\frac{2+0}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (1, 2)$ です。

半径は中心と片方の点との距離なので、$r = \sqrt{(2-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ です。

円の方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 10$ です。

(7) (0, 4), (0, 0), (-1, 5) を通る場合

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおき、各点の座標を代入します。

(0, 4): $16 + 4b + c = 0$

(0, 0): $c = 0$

(-1, 5): $1 + 25 - a + 5b + c = 0$

$c=0$ なので、$16 + 4b = 0 \implies b = -4$。

$26 - a + 5b = 0 \implies 26 - a -20 = 0 \implies a = 6$。

円の方程式は $x^2 + y^2 + 6x - 4y = 0$ です。

(8) (2, 1) を通り、x軸およびy軸に接する場合

中心の座標は $(r, r)$ と表せるため、円の方程式は $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ となる。点 $(2, 1)$ を代入すると、

$(2-r)^2 + (1-r)^2 = r^2$

$4 - 4r + r^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5) = 0$

$r=1, 5$

円の方程式は $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ および $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ です。

(9) $x^2 + y^2 = 5, x - 2y + 3 = 0$ の場合

$x = 2y - 3$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$(2y - 3)^2 + y^2 = 5$

$4y^2 - 12y + 9 + y^2 = 5$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

判別式 $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 > 0$ より、2点で交わる。

(10) $x^2 + 6x + y^2 + 2y + 6 = 0, y = -x$ の場合

$y = -x$ を $x^2 + 6x + y^2 + 2y + 6 = 0$ に代入します。

$x^2 + 6x + (-x)^2 + 2(-x) + 6 = 0$

$x^2 + 6x + x^2 - 2x + 6 = 0$

$2x^2 + 4x + 6 = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

判別式 $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$ より、交わらない。

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(-2, 0)$, 半径: $2$

(2) 中心: $(2, -1)$, 半径: $1$

(3) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(4) $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

(5) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$

(6) $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 10$

(7) $x^2 + y^2 + 6x - 4y = 0$

(8) $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ および $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

(9) 2点で交わる

(10) 交わらない